Question

10．已知函數(shù)f（x）=e^x（sinx-ax²+2a-e），其中a∈R，e=2.71818…為自然數(shù)的底數(shù)．
（1）當a=0時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當$\frac{1}{2}$≤a≤1時，求證：對任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系進行討論即可．
（2）對任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0轉(zhuǎn)化為證明對任意的x∈[0，+∞），sinx-ax²+2a-e＜0，即可，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)進行研究即可．

解答 解：（1）當a=0時，f（x）=e^x（sinx-e），
則f′（x）=e^x（sinx-e）+e^xcosx=e^x（sinx-e+cosx），
∵sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$＜e，
∴sinx+cosx-e＜0
故f′（x）＜0
則f（x）在R上單調(diào)遞減．
（2）當x≥0時，y=e^x≥1，
要證明對任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．
則只需要證明對任意的x∈[0，+∞），sinx-ax²+2a-e＜0．
設(shè)g（a）=sinx-ax²+2a-e=（-x²+2）a+sinx-e，
看作以a為變量的一次函數(shù)，
要使sinx-ax²+2a-e＜0，
則$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{2}）＜0}\\{g（1）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{sinx-\frac{1}{2}{x}^{2}+1-e＜0\\;，①}\\{sinx-{x}^{2}+2-e＜0\\;，②}\end{array}\right.$，
∵sinx+1-e＜0恒成立，∴①恒成立，
對于②，令h（x）=sinx-x²+2-e，
則h′（x）=cosx-2x，
設(shè)x=t時，h′（x）=0，即cost-2t=0．
∴t=$\frac{cost}{2}＜\frac{1}{2}$，sint＜sin$\frac{π}{6}=\frac{1}{2}$，
∴h（x）在（0，t）上，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，在（t，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
則當x=t時，函數(shù)h（x）取得最大值h（t）=sint-t²+2-e=sint-（$\frac{cost}{2}$）²+2-e
=sint-$\frac{1-si{n}^{2}t}{4}$+2-e=$\frac{1}{4}$sin²t+sint+$\frac{7}{4}$-e=（$\frac{sint}{2}$+1）²+$\frac{3}{4}$-e≤（$\frac{5}{4}$）²+$\frac{3}{4}$-e=$\frac{27}{16}$-e＜0，
故④式成立，
綜上對任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的應用，求函數(shù)的導數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．