Question

3．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1}{4}$x+$\frac{3{a}^{2}}{x}$（a≠0）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)g（x）=2x²-me^x（e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），當(dāng)a=-$\frac{1}{6}$e時(shí)，對(duì)任意x₁∈[1，4]，存在x₂∈（1，3），使g（x₁）≥f（x₂），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行討論．
（2）分別求出函數(shù)g（x₁）和f（x₂）的最小值，利用參數(shù)分離法進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=$\frac{a}{x}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{3{a}^{2}}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+4ax-12{a}^{2}}{4{x}^{2}}$=$\frac{（x-2a）（x+6a）}{4{x}^{2}}$，
①當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0得x＞2a，即f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（2a，+∞）；
由f′（x）＜0得0＜x＜2a，即單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2a）．
②當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）＞0得x＞-6a，即f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-6a，+∞）；
由f′（x）＜0得0＜x＜-6a，即單調(diào)遞減區(qū)間是（0，-6a）．
（2）當(dāng)a=-$\frac{1}{6}$e時(shí)，由（1）知，函數(shù)f（x）在（-6a，+∞）上遞增，在（0，-6a）上遞減，
即當(dāng)x=-6a=e∈（1，3）時(shí)，函數(shù)取得極小值，同時(shí)也是最小值f（e）=alne+$\frac{1}{4}$e+$\frac{3{a}^{2}}{e}$=-$\frac{1}{6}$e+$\frac{1}{4}$e+$\frac{1}{12}$e=$\frac{1}{6}$e．
若對(duì)任意x₁∈[1，4]，存在x₂∈（1，3），使g（x₁）≥f（x₂），
即等價(jià)為g（x₁）≥$\frac{1}{6}$e即可，
由2x²-me^x≥$\frac{1}{6}$e得2x²-$\frac{1}{6}$e≥me^x，
即m≤$\frac{2{x}^{2}-\frac{1}{6}e}{{e}^{x}}$，
設(shè)h（x）=$\frac{2{x}^{2}-\frac{1}{6}e}{{e}^{x}}$，則h′（x）=$\frac{4x{e}^{x}-（2{x}^{2}-\frac{1}{6}e）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{-2{x}^{2}+4x+\frac{1}{6}e}{{e}^{x}}$=$\frac{-2（x-1）^{2}+2+\frac{1}{6}e}{{e}^{x}}$，
由h′（x）=0，得x=1+$\sqrt{1+\frac{e}{12}}$，或x=1-$\sqrt{1+\frac{e}{12}}$（舍），
即當(dāng)1＜x＜1+$\sqrt{1+\frac{e}{12}}$時(shí)，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）遞增，
當(dāng)1+$\sqrt{1+\frac{e}{12}}$＜x＜4時(shí)，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）遞減，
則當(dāng)x=$\sqrt{1+\frac{e}{12}}$時(shí)，h（x）取得極大值同時(shí)也是最大值，
∵h(yuǎn)（1）=$\frac{2-\frac{e}{6}}{e}$=$\frac{2}{e}$-$\frac{1}{6}$，h（4）=$\frac{2×{4}^{2}-\frac{e}{6}}{{e}^{4}}$=$\frac{32}{{e}^{4}}$-$\frac{1}{6{e}^{3}}$，
∴h（1）＜h（4），
即函數(shù)h（x）的最小值為h（1）=$\frac{2}{e}$-$\frac{1}{6}$，
則m≤$\frac{2}{e}$-$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，以及不等式恒成立問(wèn)題，利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．