4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，且橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的最大距離為3
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，定點(diǎn)G（4，0），求△ABG面積的最大值．

3．如圖，已知曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0，y≤0）的離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且經(jīng)過點(diǎn)G（1，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），曲線C₂：x²=2y，過曲線C₁上一點(diǎn)P作C₂的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．
（Ⅰ）求曲線C₁的方程；
（Ⅱ）求△PAB面積的最大值與最小值．

2．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過F點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為$\frac{π}{3}$，|AF|=2|FB|．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若|AF|=$\frac{5}{2}$，求橢圓C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，D為橢圓C上一點(diǎn)，當(dāng)△ABD面積取得最大值時(shí)，求D點(diǎn)的坐標(biāo)．

1．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=l（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，拋物線y²=4x與橢圓C有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)，且|PF₂|=$\frac{5}{3}$．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F₁作直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)$\overrightarrow{A{F_1}}=λ\overrightarrow{{F_1}B}$．若λ∈[1，2]，求△ABF₂面積的取值范圍．

20．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$過點(diǎn)A（2，0），離心率$e=\frac{1}{2}$，斜率為k（0＜k≤1）直線l過點(diǎn)M（0，2），與橢圓C交于G，H兩點(diǎn)（G在M，H之間），與x軸交于點(diǎn)B．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）P為x軸上不同于點(diǎn)B的一點(diǎn)，Q為線段GH的中點(diǎn)，設(shè)△HPG的面積為S₁，△BPQ面積為S₂，求$\frac{S_1}{S_2}$的取值范圍．

19．已知橢圓G：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，短半軸長為1．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓G的短軸端點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P是橢圓G上異于點(diǎn)A，B的一動(dòng)點(diǎn)，直線PA，PB分別與直線x=4于M，N兩點(diǎn)，以線段MN為直徑作圓C．
①當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，求圓C半徑的最小值；
②問：是否存在一個(gè)圓心在x軸上的定圓與圓C相切？若存在，指出該定圓的圓心和半徑，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由．

18．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C，其上一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離之和為4，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線y=kx+1與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求△AOB面積的取值范圍．

17．已知橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$經(jīng)過點(diǎn)$（{2\sqrt{2}，2}）$，且離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓E的左，右焦點(diǎn)
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點(diǎn)A，B是橢圓E上關(guān)于y軸對稱兩點(diǎn)（A，B不是長軸的端點(diǎn)），點(diǎn)P是橢圓E上異于A，B的一點(diǎn)，且直線PA，PB分別交y軸于點(diǎn)M，N，求證：直線MF₁與直線NF₂的交點(diǎn)G在定圓上．

16．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），其左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）（c＞0）．
（Ⅰ）若c=2，且F₂關(guān)于直線y=$\frac{12}{5}$x+$\frac{5}{6}$的對稱點(diǎn)在橢圓E上，求橢圓E的方程；
（Ⅱ）如圖所示，若橢圓E的內(nèi)接平行四邊形的一組對邊分別經(jīng)過它的兩個(gè)焦點(diǎn)，試求這個(gè)平行四邊形的面積的最大值．

15．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足2S_n=3a_n-$\frac{1}{2}$，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=1+2log₃2a_n，求證：$\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{2}$．