20．德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其名命名的函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x為有理數(shù)}\\{0，x為無理數(shù)}\end{array}\right.$被稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)f（x）有如下四個命題：
①f（f（x））=0；                  
②函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
③任取一個不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對任意的x∈R恒成立；
④存在三個點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），使得△ABC為等邊三角形．
其中正確命題的序號有②③④．

19．已知函數(shù)f（x）=（3x+1）e^x+1+mx（m≥-4e），若有且僅有兩個整數(shù)使得f（x）≤0，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

A．

（$\frac{5}{e}$，2]

B．

[-$\frac{5}{2e}$，-$\frac{8}{{3{e^2}}}$）

C．

[-$\frac{1}{2}$，-$\frac{8}{{3{e^2}}}$）

D．

[-4e，-$\frac{5}{2e}$）

18．已知橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的長軸長等于圓C₂：x²+y²=8的直徑，左頂點到直線l：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1的距離為$\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$，點N為原點關(guān)于橢圓C₁的上頂點的對稱點．
（1）求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點M（0，m）任作一條直線y=kx+m（k≠0）與橢圓C₁相交于A、B兩點，連接AN，BN，試問：是否存在實數(shù)m，使得$\overrightarrow{NM}$=λ（$\frac{{\overrightarrow{NA}}}{{|{\overrightarrow{NA}}|}}$+$\frac{{\overrightarrow{NB}}}{{|{\overrightarrow{NB}}|}}$）成立，若存在，求出實數(shù)m的值；若不存在，請說明理由．

17．對于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，則稱函數(shù)f（x）為“同域函數(shù)”，區(qū)間A為函數(shù)f（x）的一個“同域區(qū)間”．給出下列四個函數(shù)：
①f（x）=cos$\frac{π}{2}$x；
②f（x）=x²-1；
③f（x）=|2^x-1|；
④f（x）=log₂（x-1）．
存在“同域區(qū)間”的“同域函數(shù)”的序號是②③（請寫出所有正確結(jié)論的序號）．

16．已知平面區(qū)域P：$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≥1\\ x-y+3≥0\end{array}$．設(shè)圓C：（x-a）²+（y-b）²=2，若圓心C∈P且圓C與直線x+y-7=0相切，則z=2a-b的最大值為15．

15．如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓C；$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，點P在橢圓C上，線段PF₂與圓x²+y²=b²相切于點Q，且點Q為線段PF₂的中點，則$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}{3b}$（e為橢圓的離心率）的最小值為（　�。�

A．

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

B．

$\frac{\sqrt{5}}{4}$

C．

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

D．

$\frac{\sqrt{6}}{4}$

14．橢圓（m+1）x²+my²=1的長軸長是（　�。�

A．

$\frac{2\sqrt{m-1}}{m-1}$

B．

$\frac{-2\sqrt{-m}}{m}$

C．

$\frac{2\sqrt{m}}{m}$

D．

-$\frac{2\sqrt{1-m}}{m-1}$

13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，直線y=x被橢圓C截得的線段長為$\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$．
（ I）求橢圓C的方程．
（Ⅱ）直線l是圓O：x²+y²=r²的任意一條切線，l與橢圓C交于A、B兩點，若以AB為直徑的圓恒過原點，求圓O的方程，并求出|AB|的取值范圍．

12．若實數(shù)x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}x-y+1≥0\\ x+y-3≤0\\ x+3y-3≥0\end{array}\right.$，則由點（x，y）組成的平面區(qū)域的面積為2，z=2x-y+2-|x+y|的取值范圍是（-1，5）．

11．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1），過直線l：x=2上一點P作橢圓的切線，切點為A，當(dāng)P點在x軸上時，切線PA的斜率為±$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點，求△POA面積的最小值．