5．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左頂點為A（-3，0），左焦點恰為圓x²+2x+y²+m=0（m∈R）的圓心M．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點A且與圓M相切于點B的直線，交橢圓C于點P，P與橢圓C右焦點的連線交橢圓于Q，若三點B，M，Q共線，求實數(shù)m的值．

4．已知函數(shù)f（x）=lnx-x-lna（x＞0），其中a＞0
（1）求函數(shù)h（x）=f（x）+$\frac{1}{2}{x^2}$-ax+（a-1）lnx的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個零點x₁，x₂，且x₁＜x₂，求實數(shù)a的取值范圍，并證明$\frac{x_2}{x_1}$隨a的增大而減�。�

3．已知離心率e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$的雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$右焦點為F，O為坐標(biāo)原點，以O(shè)F為直徑圓與雙曲線C的一條漸近線相交于O，A兩點，若△AOF的面積為4，則a的值為（　�。�

A．

2$\sqrt{2}$

B．

3

C．

4

D．

5

2．阿基米德“平衡法”的中心思想是：要算一個未知量（圖形的體積或面積），先將它分成許多微小的量（如面分成線段，體積分成薄片等），再用另一組微小單元來進(jìn)行比較．如圖，已知拋物線y=$\frac{1}{4}$x²，直線l：x-2y+4=0與拋物線交于A、C兩點，弦AC的中點為D，過D作直線平行于拋物線的對稱軸Oy，交拋物線于點B，則拋物線弓形ABCD的面積與△ABC的面積之比是（　　）

A．

$\frac{3}{4}$

B．

$\frac{4}{3}$

C．

$\frac{2}{3}$

D．

$\frac{3}{2}$

1．已知數(shù)列{x_n}滿足x_n+1=x_n²+x_n，x₁=a（a≠1），數(shù)列{y_n}滿足y_n=$\frac{1}{{x}_{n}+1}$，設(shè)p_n=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{n+1}}$，S_n為{y_n}的前n項和，求證：aS_n+p_n=1．

20．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓上的兩點，已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\frac{{x}_{1}}$，$\frac{{y}_{1}}{a}$），向量$\overrightarrow$=（$\frac{{x}_{2}}$，$\frac{{y}_{2}}{a}$），若$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，且橢圓的離心率為e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短軸長為2，O為坐標(biāo)原點．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線AB過橢圓的焦點F（0，c），（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值；
（3）△AOB的面積是否為定值？如果是，請求出此定值；如果不是，請說明理由．

19．如圖，已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的四個頂點分別是A₁，A₂，B₁，B₂，△A₂B₁B₂是邊長為2$\sqrt{3}$的正三角形，其內(nèi)切圓為圓G．
（1）求橢圓C及圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點D是橢圓C上第一象限內(nèi)的動點，直線B₁D交線段A₂B₂于點E．
（i）求$\frac{|D{B}_{1}|}{|E{B}_{1}|}$的最大值；
（ii）設(shè)F（-1，0），是否存在以橢圓C上的點M為圓心的圓M，使得過圓M上任意一點N，作圓G的切線（切點為T）都滿足$\frac{|NF|}{|NT|}$=$\sqrt{2}$？若存在，請求出圓M的方程；若不存在，請說明理由．

18．已知三次函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$bx²-6x+1（x∈R），a，b為實數(shù)．
（1）若a=3，b=3時，求函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f′（x）+7有唯一零點，若b∈[1，3]，求g（1）的取值范圍．

17．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₇=4，a₁₉=2a₉，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，滿足${4}^{{2a}_{n}-1}$=λT_n-（a₅-1）（n∈N^*）
（1）問是否存在非零實數(shù)λ，使得數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列？并說明理由；
（2）已知對于n∈N^*，不等式$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜M恒成立，求實數(shù)M的最小值．

16．已知f（x）=xlnx-ax，g（x）=-x²-2．
（1）當(dāng)a=0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．