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【題目】已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a,b,c∈R+ .
(Ⅰ)若ab=1,證明:( + )2≥4;
(Ⅱ)若a+b+c=3,且 + + ≤|2x﹣1|﹣|x﹣2|+3恒成立,求x的取值范圍.
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【題目】以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.已知曲線C1的參數(shù)方程為 ,(α為參數(shù),且α∈[0,π]),曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=﹣2sinθ.
(Ⅰ)求C1的極坐標(biāo)方程與C2的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若P是C1上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P的直線l交C2于點(diǎn)M,N,求|PM||PN|的取值范圍.
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【題目】已知有限集,如果中元素滿足,就稱為“完美集”.
①集合不是“完美集”;
②若、是兩個(gè)不同的正數(shù),且是“完美集”,則、至少有一個(gè)大于2;
③二元“完美集”有無(wú)窮多個(gè);
④若,則“完美集”有且只有一個(gè),且;
其中正確的結(jié)論是________(填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào))
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【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx(x>0).
(Ⅰ)求證:f(x)≥1﹣ ;
(Ⅱ)設(shè)g(x)=x2f(x),且關(guān)于x的方程x2f(x)=m有兩個(gè)不等的實(shí)根x1 , x2(x1<x2).
(i)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(ii)求證:x1x22< .
(參考數(shù)據(jù):e=2.718, ≈0.960, ≈1.124, ≈0.769,ln2≈0.693,ln2.6≈0.956,ln2.639≈0.970.注:不同的方法可能會(huì)選取不同的數(shù)據(jù))
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【題目】如圖,已知過拋物線E:x2=4y的焦點(diǎn)F的直線交拋物線E與A、C兩點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)A的直線l1分別交y軸、拋物線E于點(diǎn)D、B(B與C不重合),∠FAD=∠FDA,經(jīng)過點(diǎn)C作拋物線E的切線為l2 .
(Ⅰ)求證:l1∥l2;
(Ⅱ)求三角形ABC面積的最小值.
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【題目】如圖1,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠BAD=90°,AB=AD= CD=1,如圖2,將△ABD沿BD折起來,使平面ABD⊥平面BCD,設(shè)E為AD的中點(diǎn),F(xiàn)為AC上一點(diǎn),O為BD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AO⊥平面BCD;、
(Ⅱ)若三棱錐A﹣BEF的體積為 ,求二面角A﹣BE﹣F的余弦值的絕對(duì)值.
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【題目】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),.現(xiàn)已畫出函數(shù)在軸左側(cè)的圖象,如圖所示,根據(jù)圖象:
(1)請(qǐng)將函數(shù)的圖象補(bǔ)充完整并寫出該函數(shù)的增區(qū)間(不用證明).
(2)求函數(shù)的解析式.
(3)若函數(shù),求函數(shù)的最小值.
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【題目】已知二次函數(shù)的值域?yàn)?/span>.
(1)判斷此函數(shù)的奇偶性,并說明理由;
(2)判斷此函數(shù)在的單調(diào)性,并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論;
(3)求出在上的最小值,并求的值域.
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【題目】某電子產(chǎn)品公司前四年的年宣傳費(fèi)x(單位:千萬(wàn)元)與年銷售量y(單位:百萬(wàn)部)的數(shù)據(jù)如下表所示:
x(單位:千萬(wàn)元) | 1 | 2 | 3 | 4 |
y(單位:百萬(wàn)部) | 3 | 5 | 6 | 9 |
可以求y關(guān)于x的線性回歸方程為 =1.9x+1.
參考公式:回歸方程 = x+ 中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為:
= , = ﹣ .
(1)該公司下一年準(zhǔn)備投入10千萬(wàn)元的宣傳費(fèi),根據(jù)所求得的回歸方程預(yù)測(cè)下一年的銷售量m:
(2)根據(jù)下表所示五個(gè)散點(diǎn)數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程 = x+ .
x(單位:千萬(wàn)元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 10 |
y(單位:百萬(wàn)部) | 3 | 5 | 6 | 9 | m |
并利用小二乘法的原理說明 = x+ 與 =1.9x+1的關(guān)系.
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn . 已知a1=2,Sn+1=4an+2.
(1)設(shè)bn=an+1﹣2an , 證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
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