【題目】近年電子商務(wù)蓬勃發(fā)展， 年某網(wǎng)購平臺(tái)“雙”一天的銷售業(yè)績(jī)高達(dá)億元人民幣，平臺(tái)對(duì)每次成功交易都有針對(duì)商品和快遞是否滿意的評(píng)價(jià)系統(tǒng).從該評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出次成功交易，并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，網(wǎng)購者對(duì)商品的滿意率為，對(duì)快遞的滿意率為，其中對(duì)商品和快遞都滿意的交易為次.

（1）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并回答能否有的把握認(rèn)為“網(wǎng)購者對(duì)商品滿意與對(duì)快遞滿意之間有關(guān)系”？

（2）若將頻率視為概率，某人在該網(wǎng)購平臺(tái)上進(jìn)行的次購物中，設(shè)對(duì)商品和快遞都滿意的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附： （其中為樣本容量）

【題目】四棱錐中， ，且平面， ， ， 是棱的中點(diǎn).

（1）證明： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

【題目】設(shè)是公差為的等差數(shù)列，是公比為（）的等比數(shù)列，記.

（1）令，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

（2）若，，數(shù)列前2項(xiàng)和為14，前8項(xiàng)和為857，求數(shù)列通項(xiàng)公式；

（3）在（2）的條件下，問：數(shù)列中是否存在四項(xiàng)、、、成等差數(shù)列？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

【題目】甲、乙兩城相距100，在兩城之間距甲城處的丙地建一核電站給甲、乙兩城供電，為保證城市安全，核電站距兩地的距離不少于10．已知各城供電費(fèi)用（元）與供電距離（）的平方和供電量（億千瓦時(shí)）之積都成正比，比例系數(shù)均是=0．25，若甲城供電量為20億千瓦時(shí)/月，乙城供電量為10億千瓦時(shí)/月，

（1）把月供電總費(fèi)用（元）表示成（）的函數(shù)，并求其定義域；

（2）求核電站建在距甲城多遠(yuǎn)處，才能使月供電總費(fèi)用最小．

【題目】已知直線， (為參數(shù)， 為傾斜角).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的直角坐標(biāo)方程為.

（Ⅰ）將曲線的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，直線與曲線的交點(diǎn)為、，求的取值范圍.

【答案】（I）；（II）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）將由代入，化簡(jiǎn)即可得到曲線的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）將的參數(shù)方程代入，得，根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，利用韋達(dá)定理結(jié)合輔助角公式，由三角函數(shù)的有界性可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）由及，得，即

所以曲線的極坐標(biāo)方程為

（II）將的參數(shù)方程代入，得

∴, 所以，又，

所以，且,

所以,

由，得，所以.

故的取值范圍是.

【題型】解答題
【結(jié)束】
23

【題目】已知、、均為正實(shí)數(shù).

（Ⅰ）若，求證：

（Ⅱ）若，求證：

【題目】在數(shù)列中，，

（I）求，，的值，由此猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式：

（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.

【題目】已知函數(shù)，

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（Ⅱ）若時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若數(shù)列滿足， ，記的前項(xiàng)和為，求證： .

【答案】（I）；（II）；（III）證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以顯然不成立，先證明因此時(shí)， 在上恒成立，再證明當(dāng)時(shí)不滿足題意，從而可得結(jié)果；（III）先求出等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，結(jié)合（II）可得，各式相加即可得結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）由，得.所以

令，解得或（舍去），所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 .

（Ⅱ）由得，

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以顯然不成立，因此.

令，則，令，得.

當(dāng)時(shí)， ， ，∴，所以，即有.

因此時(shí)， 在上恒成立.

②當(dāng)時(shí)， ， 在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

∴，不滿足題意.

綜上，不等式在上恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（III）證明：由知數(shù)列是的等差數(shù)列，所以

所以

由（Ⅱ）得， 在上恒成立.

所以. 將以上各式左右兩邊分別相加，得

.因?yàn)?/span>

所以

所以.

【題型】解答題
【/span>結(jié)束】
22

【題目】已知直線， (為參數(shù)， 為傾斜角).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的直角坐標(biāo)方程為.

（Ⅰ）將曲線的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，直線與曲線的交點(diǎn)為、，求的取值范圍.

（結(jié)果精確到0.1．參考數(shù)據(jù)：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771．）

A.2.6天B.2.2天C.2.4天D.2.8天

【題目】某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距640米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預(yù)測(cè)，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元，距離為米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為萬元.假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，設(shè)需要新建個(gè)橋墩，記余下工程的費(fèi)用為萬元.

（1）試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（注意：）

（2）需新建多少個(gè)橋墩才能使最��？

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷的單調(diào)性并寫出證明過程；

（2）當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.