【題目】如圖①，有一個長方體形狀的敞口玻璃容器，底面是邊長為20cm的正方形，高為30cm，內有20cm深的溶液．現將此容器傾斜一定角度（圖②），且傾斜時底面的一條棱始終在桌面上（圖①、②均為容器的縱截面）．

（1）要使傾斜后容器內的溶液不會溢出，角的最大值是多少？

（2）現需要倒出不少于的溶液，當時，能實現要求嗎？請說明理由．

【題目】在直角坐標平面內，以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線的極坐標方程為，直線的參數方程為（為參數）．

（1）分別求出曲線和直線的直角坐標方程；

（2）若點在曲線上，且到直線的距離為1，求滿足這樣條件的點的個數．

【題目】直角坐標平面內，每個點繞原點按逆時針方向旋轉的變換所對應的矩陣為，每個點橫、縱坐標分別變?yōu)樵瓉淼?/span>倍的變換所對應的矩陣為.

(I)求矩陣的逆矩陣；

(Ⅱ)求曲線先在變換作用下，然后在變換作用下得到的曲線方程.

【題目】已知函數，.

(I)若，求函數的單調區(qū)間；

(Ⅱ)若存在極小值點，且，其中，求證: ；

(Ⅲ)試問過點可作多少條直線與的圖像相切?并說明理由.

如圖在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4,點D是AB的

中點.

(1) 求證： AC⊥BC1

(2) 求證：AC1∥平面CDB1

(3) 求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值.

【題目】某市公園內的人工湖上有一個以點為圓心的圓形噴泉，沿湖有一條小徑，在的另一側建有控制臺，和之間均有小徑連接(小徑均為直路)，且，噴泉中心點距離點60米，且連線恰與平行，在小徑上有一拍照點，現測得米， 米，且.

(I)請計算小徑的長度；

(Ⅱ)現打算改建控制臺的位置，其離噴泉盡可能近，在點的位置及大小均不變的前提下，請計算距離的最小值；

(Ⅲ)一人從小徑一端處向處勻速前進時，噴泉恰好同時開啟，噴泉開啟分鐘后的水幕是一個以為圓心，半徑米的圓形區(qū)域(含邊界)，此人的行進速度是米/分鐘，在這個人行進的過程中他會被水幕沾染，試求實數的最小值.

（1）若采用樣本估計總體的方式，試估計小王的所有微信好友中每日走路步數超過5000步的概率；

（2）已知某人一天的走路步數超過8000步被系統評定“積極型”，否則為“懈怠型”，根據題意完成下面的列聯表，并據此判斷能否有95%以上的把握認為“評定類型”與“性別”有關？

【題目】已知數列是首項為1的等差數列，數列滿足，且.

（1）求數列的通項公式；

（2）令，求數列的前項和.

【題目】中國古代名詞“芻童”原來是草堆的意思，古代用它作為長方體棱臺（上、下底面均為矩形額棱臺）的專用術語，關于“芻童”體積計算的描述，《九章算術》注曰：“倍上表，下表從之，亦倍小表，上表從之，各以其廣乘之，并，以高若深乘之，皆六面一.”其計算方法是：將上底面的長乘二，與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘；將下底面的長乘二，與上底面的長相加，再與下底面的寬相乘；把這兩個數值相加，與高相乘，再取其六分之一，以此算法，現有上下底面為相似矩形的棱臺，相似比為，高為3，且上底面的周長為6，則該棱臺的體積的最大值是（ ）

A. 14 B. 56 C. D. 63

在平面直角坐標系中，曲線過點，其參數方程為 （為參數，），以為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）求已知曲線和曲線交于，兩點，且，求實數的值.