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【題目】已知橢圓的離心率為,且過點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若點A、B為橢圓C的左右頂點,直線與x軸交于點D,點P是橢圓C上異于A、B的動點,直線AP、BP分別交直線于E、F兩點,當點P在橢圓C上運動時,是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.
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【題目】已知數列的各項均為正整數,Sn為其前n項和,對于n=1,2,3,…,有,其中為使為奇數的正整數,當時,的最小值為__________;當時,___________.
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【題目】如圖,將一個邊長為的正三角形分成個全等的正三角形,第一次挖去中間的一個小三角形,將剩下的個小正三角形,分別再從中間挖去一個小三角形,保留它們的邊,重復操作以上的做法,得到的集合為希爾賓斯基三角形.設是前次挖去的小三角形面積之和(如是第次挖去的中間小三角形面積,是前次挖去的個小三角形面積之和),則 _____________ , __________.
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【題目】設數列的前項和為,,.
(1)求數列的通項公式;
(2)設數列滿足:
對于任意,都有成立.
①求數列的通項公式;
②設數列,問:數列中是否存在三項,使得它們構成等差數列?若存在,求出這三項;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知數列、,其中, ,數列滿足,,數列滿足.
(1)求數列、的通項公式;
(2)是否存在自然數,使得對于任意有恒成立?若存在,求出的最小值;
(3)若數列滿足,求數列的前項和.
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【題目】已知函數f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中a為常數,且曲線y=f(x)在其與y軸的交點處的切線記為l1,曲線y=g(x)在其與x軸的交點處的切線記為l2,且l1∥l2.
(1)求l1,l2之間的距離;
(2)若存在x使不等式成立,求實數m的取值范圍;
(3)對于函數f(x)和g(x)的公共定義域中的任意實數x0,稱|f(x0)-g(x0)|的值為兩函數在x0處的偏差.求證:函數f(x)和g(x)在其公共定義域內的所有偏差都大于2.
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【題目】已知橢圓E:,直線l不過原點O且不平行于坐標軸,l與E有兩個交點A,B,線段AB的中點為M.
若,點K在橢圓E上,、分別為橢圓的兩個焦點,求的范圍;
證明:直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值;
若l過點,射線OM與橢圓E交于點P,四邊形OAPB能否為平行四邊形?若能,求此時直線l斜率;若不能,說明理由.
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【題目】(題文)如圖,長方形材料中,已知,.點為材料內部一點,于,于,且,. 現要在長方形材料中裁剪出四邊形材料,滿足,點、分別在邊,上.
(1)設,試將四邊形材料的面積表示為的函數,并指明的取值范圍;
(2)試確定點在上的位置,使得四邊形材料的面積最小,并求出其最小值.
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