Question

11．如圖所示，光滑水平面上，質(zhì)量為m的小球A和質(zhì)量為$\frac{m}{3}$的小球B通過(guò)輕質(zhì)彈簧相連并處于靜止?fàn)顟B(tài)，彈簧處于自由伸長(zhǎng)狀態(tài)；質(zhì)量為m的小球C以初速度v₀沿AB連線向右勻速運(yùn)動(dòng)，并與小球A發(fā)生彈性正碰．在小球B的右側(cè)某位置固定一塊彈性擋板（圖中未畫(huà)出），當(dāng)小球B與擋板發(fā)生正碰后立刻將擋板撤走．不計(jì)所有碰撞過(guò)程中的機(jī)械能損失，彈簧始終處于彈性限度以?xún)?nèi)，小球B與固定擋板的碰撞時(shí)間極短．求：小球B與擋板碰后彈簧彈性勢(shì)能的最大值的范圍．

Answer 1

分析 不計(jì)所有碰撞過(guò)程中的機(jī)械能損失，系統(tǒng)的機(jī)械能是守恒的．系統(tǒng)的合外力為零，總動(dòng)量也守恒，若A、B動(dòng)量相等時(shí)B與擋板碰撞，碰后瞬間B球反向且動(dòng)量大小不變，當(dāng)A、B速度同時(shí)為零時(shí)，彈簧彈性勢(shì)能最大．若B與擋板碰撞時(shí)，B的速度很�。�約為零），當(dāng)兩球速度相等時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能最大，根據(jù)兩大守恒定律進(jìn)行解答．

解答 解：C與A碰撞過(guò)程動(dòng)量守恒，取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律有    mv₀=mv_C+mv_A
由機(jī)械能守恒有    $\frac{1}{2}m{v_0}^2=\frac{1}{2}m{v_C}^2+\frac{1}{2}m{v_A}^2$
解得 v_C=0，v_A=v₀．
若A、B動(dòng)量相等時(shí)B與擋板碰撞，碰后瞬間B球反向且動(dòng)量大小不變，當(dāng)A、B速度同時(shí)為零時(shí)，彈簧彈性勢(shì)能最大，為 ${E_p}={E_k}=\frac{1}{2}m{v_0}^2$
若B與擋板碰撞時(shí)，B的速度很�。�約為零），當(dāng)兩球速度相等時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能最大，A、B動(dòng)量守恒               
則有 $m{v_0}=（m+\frac{m}{3}）v$
由能量守恒有         ${E_p}=\frac{1}{2}m{v_0}^2-\frac{1}{2}•\frac{4}{3}m{v^2}$
解得       ${E_p}=\frac{1}{8}m{v_0}^2$
綜上，結(jié)論為$\frac{1}{8}m{v_0}^2≤{E_p}≤\frac{1}{2}m{v_0}^2$．
答：小球B與擋板碰后彈簧彈性勢(shì)能的最大值的范圍為$\frac{1}{8}m{v_0}^2≤{E_p}≤\frac{1}{2}m{v_0}^2$．

點(diǎn)評(píng) 本題是系統(tǒng)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒的問(wèn)題．兩個(gè)質(zhì)量相等的小球發(fā)生彈性碰撞時(shí)，將交換速度．分過(guò)程進(jìn)行研究．