Question

10．如圖所示，水平平臺(tái)上放有兩個(gè)物塊A、B，B放在平臺(tái)的邊緣，A、B相距L，物塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，兩物塊的質(zhì)量均為m，平臺(tái)下h處的另一水平平臺(tái)邊緣C接有一豎直的光滑圓弧軌道CDE，圓心O與C的連線CO與水平方向的夾角為30°，給A一個(gè)初速度，若A與B碰后粘連在一起，剛好能從C點(diǎn)無碰撞地滑人圓弧軌道，并恰好能到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)E，則A的初動(dòng)能多大？圓環(huán)軌道的半徑R多大？（整個(gè)過程忽略空氣阻力）

Answer 1

分析 對(duì)A在和B碰前的運(yùn)動(dòng)過程應(yīng)用動(dòng)能定理，對(duì)AB碰撞過程應(yīng)用動(dòng)量守恒，然后根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的速度位移公式求得初動(dòng)能及在C處的速度，然后對(duì)從C到E的過程應(yīng)用機(jī)械能守恒，并在E處應(yīng)用牛頓第二定律即可求解．

解答 解：物體A和B碰撞前在水平面上的運(yùn)動(dòng)過程只有摩擦力做功，設(shè)A開始運(yùn)動(dòng)的速度為v₀，和B碰前瞬間的速度為v₁，那么由動(dòng)能定理可得：$-μmgL=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$；
A與B碰后粘連在一起，故AB發(fā)生完全非彈性碰撞，那么碰后AB整體的速度為$\frac{1}{2}{v}_{1}$；
AB從平臺(tái)邊緣到C的運(yùn)動(dòng)過程為平拋運(yùn)動(dòng)，所以，水平速度不變；又有AB能從C點(diǎn)無碰撞地滑人圓弧軌道，且圓心O與C的連線CO與水平方向的夾角為30°，那么，AB在C點(diǎn)的速度${v}_{C}=\frac{\frac{1}{2}{v}_{1}}{sin30°}={v}_{1}$；
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)位移公式可得：$h=\frac{{{v}_{y}}^{2}}{2g}=\frac{（{v}_{C}cos30°）^{2}}{2g}=\frac{3{{v}_{1}}^{2}}{4g}$；
AB在光滑圓弧軌道上運(yùn)動(dòng)，只有重力做功，故機(jī)械能守恒，則有：$\frac{1}{2}•2m{{v}_{C}}^{2}=m{{v}_{1}}^{2}=mgR（1+sin30°）+\frac{1}{2}•2m{{v}_{E}}^{2}$=$\frac{3}{2}mgR+m{{v}_{E}}^{2}$；
又有AB恰好能到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)E，故對(duì)AB在E應(yīng)用牛頓第二定律可得：$2mg=\frac{2m{{v}_{E}}^{2}}{R}$；
所以，${{v}_{1}}^{2}=\frac{3}{2}gR+{{v}_{E}}^{2}=\frac{5}{2}gR$，所以，$R=\frac{{{v}_{1}}^{2}}{\frac{5}{2}g}=\frac{h}{\frac{3}{4g}•\frac{5}{2}g}=\frac{8}{15}h$；
A的初動(dòng)能$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+μmgL=\frac{2}{3}mgh+μmgL$；
答：A的初動(dòng)能為$\frac{2}{3}mgh+μmgL$；圓環(huán)軌道的半徑R為$\frac{8}{15}h$．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．