Question

16．如圖，光滑水平地面上有一質(zhì)量為M的小車，車上表面水平且光滑，車上裝有半徑為R的光滑四分之一圓環(huán)軌道，圓環(huán)軌道質(zhì)量不計(jì)且與車的上表面相切，質(zhì)量為m的小滑塊從跟車面等高的平臺(tái)以V₀的初速度滑上小車（V₀足夠大，以至滑塊能夠滑過(guò)與環(huán)心O等高的b點(diǎn)），試求：
（1）滑塊滑到b點(diǎn)瞬間，小車速度多大？
（2）滑塊從滑上小車至滑到環(huán)心O等高的b點(diǎn)過(guò)程中，車的上表面和環(huán)的彈力共對(duì)滑塊做了多少功？
（3）小車所能獲得的最大速度為多少？

Answer 1

分析 滑塊到b點(diǎn)瞬間，滑塊與小車在水平方向上有共同速度，根據(jù)動(dòng)量守恒定律列方程求解；
根據(jù)動(dòng)能定理求車上表面和環(huán)的彈力對(duì)滑塊做的功；

解答 解．（1）．滑塊到b點(diǎn)瞬間，滑塊與小車在水平方向上有共同速度，設(shè)為v滑塊小車系統(tǒng)水平方向上動(dòng)量守恒：mv₀=（M+m）v_x
v_x=$\frac{m}{m+M}$v₀                   ①
（2）．滑塊至b點(diǎn)瞬間，設(shè)滑塊速度為v，取車上表面為重力勢(shì)能零勢(shì)面系統(tǒng)機(jī)械能守恒：
mgR+$\frac{1}{2}$Mv_x²+$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mv₀²      ②
設(shè)過(guò)程中車上表面和環(huán)的彈力對(duì)滑塊共做功W_N，對(duì)滑塊應(yīng)用動(dòng)能定理有：
W_N-mgR=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²     ③
由①②③得：W_N=-$\frac{1}{2}$M（$\frac{m}{m+M}$v₀）²     ④
（3）．滑塊越過(guò)b點(diǎn)后，相對(duì)小車作豎直上拋運(yùn)動(dòng)，隨后，將再度從b點(diǎn)落入圓球，小車進(jìn)一步被加速，當(dāng)滑塊滑回小車的上表面時(shí)，車速最大，設(shè)此時(shí)滑塊速度為v₁，車速為v₂
系統(tǒng)動(dòng)量守恒：mv₀=mv₁+Mv₂  ⑤
系統(tǒng)機(jī)械能守恒：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$Mv₂²    ⑥
聯(lián)立⑤⑥解得：v₂=$\frac{2m}{m+M}$v₀        ⑦
答：（1）滑塊滑到b點(diǎn)瞬間，小車速度$\frac{m}{m+M}$v₀；
（2）滑塊從滑上小車至滑到環(huán)心O等高的b點(diǎn)過(guò)程中，車的上表面和環(huán)的彈力共對(duì)滑塊做功-$\frac{1}{2}$M（$\frac{m}{m+M}$v₀）²；
（3）小車所能獲得的最大速度為$\frac{2m}{m+M}$v₀．

點(diǎn)評(píng) 解決該題關(guān)鍵要能夠清楚物體的運(yùn)動(dòng)情況，運(yùn)用動(dòng)量守恒定律和動(dòng)能定理求解．