Question

1．利用彈簧彈射和皮帶傳動裝置，可以將工件運送至高處，如圖所示，已知傳送軌道平面與水平方向成37°角，傾角也是37°的光滑斜面軌道固定于地面且與傳送軌道良好對接，彈簧下端固定在斜面底端，工件與皮帶間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，皮帶傳動裝置順時針勻速轉(zhuǎn)動的速度v=4m/s，兩輪與軸心相距L=5m，B、C分別是傳送帶與兩輪的切點，輪緣與傳送帶之間不打滑，現(xiàn)將質(zhì)量m=1kg的工件放在彈簧上，用力將彈簧壓縮至A點后由靜止釋放，工件離開斜面頂端滑到皮帶上的B點時速度v₀=8m/s，AB間的距離x=1m，工件可視為質(zhì)點，g取10m/s²（sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）彈簧的最大彈性勢能．
（2）工件沿傳送帶上滑的時間．
（3）若傳送裝置順時針勻速轉(zhuǎn)動的速度v可在8＞v＞4m/s 的范圍內(nèi)調(diào)節(jié)，是推導(dǎo)工件滑動到C點時的速度v_c隨速度v變化的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)工件離開斜面頂端滑到皮帶上的B點時速度v₀=8m/s，AB間的距離x=lm，彈簧的彈性勢能轉(zhuǎn)化為工件的動能和重力勢能，通過能量守恒定律求出彈簧的最大彈性勢能．
（2）因為μ＜tan37°，當(dāng)工件速度減為傳送帶速度時，又以不同的加速度向上減速，根據(jù)牛頓第二定律求出兩次勻減速直線運動的加速度，然后根據(jù)運動學(xué)公式求出上滑的總時間．
（3）當(dāng)傳送帶速度在4m/s＜v＜8m/s的范圍內(nèi)調(diào)節(jié)時，工件先以加速度a₁減速向上滑行，再以加速度a₂減速向上滑行，根據(jù)運動學(xué)公式求出工件滑動到C點時的速度v_c隨速度v變化的關(guān)系式．

解答 解：（1）工件由A到B的過程中，彈力做正功，重力做負(fù)功，工件的動能增加，由能量守恒定律可得彈簧的最大彈性勢能為：
E_P=mgxsin37°+$\frac{1}{2}$mv₀²  
代入數(shù)據(jù)解得：E_P=38J 
（2）工件沿傳送軌道減速向上滑動的過程中，根據(jù)牛頓第二定律有：
mgsin37°+μmgcos37°=ma₁
解得工件的加速度大小為：a₁=8m/s²；
減速至與傳送帶共速需要的時間為：t₁═$\frac{{v}_{0}-v}{{a}_{1}}$=$\frac{8-4}{8}$s=0.5s
工件滑行的位移大小為：x₁═$\frac{{v}_{0}+v}{2}{t}_{1}$=$\frac{8+4}{2}×0.5$m=3m＜L 
因為μ＜tan37°，所以工件將沿傳送帶繼續(xù)減速上滑．
由牛頓第二定律有：mgsin37°-μmgcos37°=ma₂ 
解得，工件的加速度大小為：a₂=4m/s²；
假設(shè)工件速度減為零時，工件未從傳送帶上滑落，則經(jīng)歷時間為：
t₂═$\frac{v}{{a}_{2}}$=$\frac{4}{4}$s=1s．
工件滑行的位移大小為：
x₂═$\frac{v}{2}{t}_{2}$=$\frac{4}{2}×1$m=2m=L-x₁ 
說明工件速度減為0時恰好到達傳送帶頂端，故假設(shè)成立，工件沿傳送帶上滑的時間 為：
t=t₁+t₂=1.5s
（3）當(dāng)傳送帶速度在4m/s＜v＜8m/s的范圍內(nèi)調(diào)節(jié)時，工件先以加速度a₁減速向上滑行的距離為：
x₁′=$\frac{{v}_{0}^{2}-{v}^{2}}{2{a}_{1}}$
當(dāng)速度減到v后又以加速度a₂減速向上滑行的距離為：L-x₁′=$\frac{{v}^{2}-{v}_{C}^{2}}{2{a}_{2}}$
工件滑動C點的速度v_C隨速度v的變化關(guān)系式為：v_c=$\sqrt{\frac{{v}^{2}}{2}-8}$
補充：若當(dāng)傳送帶的速度v≥8m/s的范圍內(nèi)調(diào)節(jié)時，工件將沿傳送帶以加速度a₂減速滑行到C點，有：
v_c²-v²=2a₂L；
工件滑動到C點的速度v_c隨速度v變化的關(guān)系式v_c=2m/s．所以當(dāng)傳送帶速度在4m/s＜v＜8m/s時，工件滑動C點的速度v_C隨速度v的變化關(guān)系式：
v_c=$\sqrt{\frac{{v}^{2}}{2}-8}$
當(dāng)傳送帶的速度v≥8m/s時，工件滑動到C點的速度v_c隨速度v變化的關(guān)系式為：v_c=2m/s．
答：（1）彈簧的最大彈性勢能是38J．
 （2）工件沿傳送帶上滑的時間是1.5s．   
（3）速度v_c隨速度v變化的關(guān)系式是v_c=$\sqrt{\frac{{v}^{2}}{2}-8}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵理清工件的運動情況，通過牛頓第二定律和運動學(xué)公式進行研究．要知道加速度是聯(lián)系力的運動的橋梁，在動力學(xué)問題中是必求的量．