Question

9．如圖所示，在光滑的水平面上有兩塊完全相同的足夠長(zhǎng)的木板A和B，它們的質(zhì)量均為M_A=M_B=$\frac{M}{2}$，先讓長(zhǎng)木板A在光滑水平地面上以速度2υ₀勻速運(yùn)動(dòng)，與靜止的長(zhǎng)木板B發(fā)生完全非彈性碰撞．設(shè)碰撞時(shí)間極短，碰撞結(jié)束后A、B做為一個(gè)整體沿水平方向向右運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)的前方，沿著長(zhǎng)木板運(yùn)動(dòng)方向相距一定距離站著序號(hào)標(biāo)有1、2、3、…、n的人，每人手中各拿著與長(zhǎng)木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ質(zhì)量均為m的物塊，各物塊在長(zhǎng)木板上發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，會(huì)留下一條“劃痕”當(dāng)長(zhǎng)木板運(yùn)動(dòng)到第一個(gè)人的身旁時(shí)，第一個(gè)人將手中的物塊無初速地輕放在長(zhǎng)木板的最前端．當(dāng)長(zhǎng)木板運(yùn)動(dòng)到第二個(gè)人身旁時(shí)，第一塊物塊恰好相對(duì)長(zhǎng)木板靜止，第二個(gè)人將手中的物塊放置在長(zhǎng)木板的最前端．當(dāng)長(zhǎng)木板運(yùn)動(dòng)到第三個(gè)人身旁時(shí)，第二塊物塊恰好相對(duì)長(zhǎng)木板靜止，第三個(gè)人將手中的物塊放罝在長(zhǎng)木板的最前端．…依此類推，當(dāng)前個(gè)人放置的物塊相對(duì)長(zhǎng)木板靜止時(shí)，第n個(gè)人就將手中的物塊放置在長(zhǎng)木板的最前墑．（各物塊之間不會(huì)相互碰撞） 求：
（1）在AB碰撞過程中，產(chǎn)生了多少熱量？
（2）第一個(gè)人與第二個(gè)人相距多遠(yuǎn)？
（3）這n個(gè)物塊相對(duì)木板均靜止時(shí)，長(zhǎng)木板上的劃癍之和為多少？

Answer 1

分析 （1）在AB碰撞過程中，遵守動(dòng)量守恒定律，由此求出碰后兩者的共同速度．再由能量守恒定律求產(chǎn)生的熱量．
（2）第一個(gè)人與第二個(gè)人相距等于第一塊物塊木板上滑行的過程中木板滑行的距離，由動(dòng)量守恒定律和動(dòng)能定理結(jié)合求解．
（3）再由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律結(jié)合求長(zhǎng)木板上的劃痕之和．

解答 解：（1）在AB碰撞過程中，取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
   $\frac{M}{2}$×2v₀=（$\frac{M}{2}$+$\frac{M}{2}$）v
由能量守恒定律得：
$\frac{1}{2}$×$\frac{M}{2}$×（2v₀）²=$\frac{1}{2}$（$\frac{M}{2}$+$\frac{M}{2}$）v²+Q
聯(lián)立解得：Q=$\frac{1}{2}M{v}_{0}^{2}$
（2）第一塊物塊在木板上滑動(dòng)的過程，取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
Mv₀=（M+m）v₁．
對(duì)木板，由動(dòng)能定理得：
$\frac{1}{2}$Mv₁²-$\frac{1}{2}$Mv₀²=-μmgL₁．
可得，第一個(gè)人與第二個(gè)人相距為：L₁=$\frac{M（2M+m）{v}_{0}^{2}}{2μ（M+m）^{2}g}$
（3）以n個(gè)物塊和A、B組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，對(duì)整個(gè)過程，由動(dòng)量守恒定律得：
Mv₀=（M+nm）v₂．
由能量守恒定律得：
$\frac{1}{2}$Mv₀²=$\frac{1}{2}$（M+nm）v₂²+μmgx_總．
解得長(zhǎng)木板上的劃痕之和為：
x_總=$\frac{nM{v}_{0}^{2}}{2μ（M+nm）g}$
答：（1）在AB碰撞過程中，產(chǎn)生了$\frac{1}{2}M{v}_{0}^{2}$熱量．
（2）第一個(gè)人與第二個(gè)人相距為$\frac{M（2M+m）{v}_{0}^{2}}{2μ（M+m）^{2}g}$．
（3）這n個(gè)物塊相對(duì)木板均靜止時(shí)，長(zhǎng)木板上的劃痕之和為$\frac{nM{v}_{0}^{2}}{2μ（M+nm）g}$．

點(diǎn)評(píng) 本題要明確非彈性碰撞和相對(duì)滑行的過程中，系統(tǒng)遵守的基本規(guī)律是：動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律．要知道摩擦產(chǎn)生的熱量與相對(duì)位移有關(guān)．