Question

7．如圖所示，光滑水平面上靜置兩個(gè)等高的長(zhǎng)木板A、B，質(zhì)量均為M=2kg，兩者相距d=1m，現(xiàn)將質(zhì)量m=1kg的小滑塊NC（可視為質(zhì)點(diǎn)）以初速度v₀=10m/s從A的左端滑上，當(dāng)A、B碰撞的瞬間，C剛好滑上B木板，碰撞時(shí)間極短．已知滑塊C與長(zhǎng)木板A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ均為0.4，取重力加速度g=10m/s²．
（1）求長(zhǎng)木板A的長(zhǎng)度L_A；
（2）若A、B碰撞后粘在一起，要使C不從B上滑落，木板B的長(zhǎng)度L_B至少多長(zhǎng)？

Answer 1

分析 （1）A、B碰撞前，A做勻加速運(yùn)動(dòng)，C做勻減速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出兩者的加速度，根據(jù)C與A的位移之差等于長(zhǎng)木板A的長(zhǎng)度，由位移公式求解．
（2）A、B碰撞后粘在一起，由動(dòng)量守恒定律求得碰后兩者的速度．要使C不從B上滑落，C滑到B的右端時(shí)速度與B相同，由動(dòng)量守恒定律和功能關(guān)系列式求解木板B的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）設(shè)A、B碰撞前，A勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
對(duì)A，由牛頓第二定律有：a_A=$\frac{μmg}{M}$=$\frac{0.4×1×10}{2}$=2m/s²．①
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：d=$\frac{1}{2}{a}_{A}{t}^{2}$　　        ②
解得：t=1s
此過程中，C向右勻減速運(yùn)動(dòng)
對(duì)C，由牛頓第二定律有：a_C=$\frac{μmg}{m}$=μg=4m/s²　             ③
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：x_C=v₀t-$\frac{1}{2}{a}_{C}{t}^{2}$
解得  x_C=8m　　　　　　            ④
所以長(zhǎng)木板A的長(zhǎng)度 L_A=x_C-d=7m　　　　　
（2）設(shè)A、B碰撞前瞬間，A的速度大小為v_A，C的速度為v_C
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：v_A=a_At=2×1=2m/s
    v_C=v₀-a_Ct=10-4×1=6m/s                        ⑤
A、B碰撞瞬間，A、B系統(tǒng)動(dòng)量守恒，設(shè)碰后瞬間A、B的共同速度為v₁
取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：M v_A=2Mv₁ ⑥
C在B的上表面相對(duì)滑動(dòng)的過程中，A、B、C系統(tǒng)動(dòng)量守恒，設(shè)三者最終共同速度為v₂
由動(dòng)量守恒定律得：2Mv₁+mv_C=（m+2M）v₂　　               ⑦
由能量轉(zhuǎn)化守恒定律得：$\frac{1}{2}•$2Mv₁²+$\frac{1}{2}$mv_C²=μmgS_相+$\frac{1}{2}$（m+2M）v₂²　　   �、�
由⑤～⑧得：S_相=2.5m
故　L_B≥2.5m                       　　　　   
所以木板B的長(zhǎng)度L_B至少2.5m長(zhǎng)．
答：
（1）長(zhǎng)木板A的長(zhǎng)度L_A是7m
（2）若A、B碰撞后粘在一起，要使C不從B上滑落，木板B的長(zhǎng)度L_B至少2.5m長(zhǎng)．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是明確C在A上運(yùn)動(dòng)過程中遵循牛頓第二定律，C在B上滑動(dòng)時(shí)，C相對(duì)于B滑動(dòng)的位移為相對(duì)位移，摩擦生熱與相對(duì)位移有關(guān)．