Question

3．在地面附近豎直平面內(nèi)有一范圍足夠大的互相正交的勻強電場和勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B，方向水平并垂直紙面向外，一個質(zhì)量為m、帶電量為-q的帶電微粒在此區(qū)域恰好做速度大小為v的勻強圓周運動，（重力加速度為g）．求：
（1）求此區(qū)域內(nèi)電場強度的大小和方向；
（2）若某時刻微粒運動到場中距地面高度為H的P點時，速度與水平方向成45°，如圖所示，則該微粒至少須經(jīng)多長時間運動到距地面最高點？最高點距地面多高？
（3）若當(dāng)微粒運動P點時，突然撤去磁場，同時電場強度大小不變，方向水平向右，則該微粒運動中距地面的最大高度是多少？

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在電場和磁場及重力場能做勻速圓周運動，則有電場力與重力平衡，而洛倫茲力提供向心力．從而根據(jù)平衡條件可確定電場強度的大小與方向；
（2）由粒子所受洛倫茲力提供向心力，從而求出運動圓弧的半徑與周期，再根據(jù)幾何關(guān)系來確定圓弧最高點與地面的高度及運動時間；
（3）當(dāng)撤去磁場時，粒子受到重力與電場力作用，從而做勻減速直線運動．因此此運動可看成豎直方向與水平方向兩個分運動，運用動能定理可求出豎直的高度，最終可算出結(jié)果．

解答 解：（1）帶電微粒在做勻速圓周運動，電場力與重力應(yīng)平衡，有mg=Eq，即E=$\frac{mg}{q}$，方向豎直向下．
（2）粒子做勻速圓周運動，軌道半徑為R，如圖所示．
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
根據(jù)幾何關(guān)系可確定，最高點與地面的距離為：H_m=H+R（1+cos45°）
解得：${H}_{m}=H+\frac{mv}{qB}（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）$．
該微粒運動周期為：T=$\frac{2πm}{qB}$，
根據(jù)運動圓弧對應(yīng)的圓心角，可得粒子運動至最高點所用時間為：t=$\frac{3T}{8}$=$\frac{3πm}{4qB}$，
（3）設(shè)粒子上升高度為h，由動能定理得：$-mgh-qEhcos45°=0-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：h=$\frac{m{v}^{2}}{2（mg+qE）}$=$\frac{{v}^{2}}{4g}$
微粒離地面最大高度為H+$\frac{{v}^{2}}{4g}$．
答：（1）此區(qū)域內(nèi)電場強度的大小為$\frac{mg}{q}$，方向豎直向下．
（2）該微粒至少須經(jīng)$\frac{3πm}{4qB}$時間運動到距地面最高點，最高點距地面$H+\frac{mv}{qB}（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）$．
（3）微粒運動中距地面的最大高度是H+$\frac{{v}^{2}}{4g}$．

點評 運用共點力平衡條件、牛頓第二定律、動能定理等規(guī)律，及由洛倫茲力提供向心力來確定線速度大小與周期．同時借助于數(shù)學(xué)的幾何關(guān)系來確定已知長度與圓弧半徑的關(guān)系．