Question

4．如圖所示，一輕繩繞過(guò)無(wú)摩擦的兩個(gè)輕質(zhì)小定滑輪O₁、O₂和質(zhì)量m_B=m的小球連接，另一端與套在光滑直桿上質(zhì)量m_A=m的小物塊連接，已知直桿兩端固定，與兩定滑輪在同一豎直平面內(nèi)，與水平面的夾角θ=60°，直桿上C點(diǎn)與兩定滑輪均在同一高度，C點(diǎn)到定滑輪O₁的距離為L(zhǎng)，重力加速度為g，設(shè)直桿足夠長(zhǎng)，小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不會(huì)與其他物體相碰．現(xiàn)將小物塊從C點(diǎn)由靜止釋放，試求：
（1）小球下降的最大距離H；
（2）當(dāng)小球下降到最低點(diǎn)時(shí)，小物塊的速度大小v；
（3）小物塊能下滑的最大距離S_m．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)系小物塊的繩子與桿垂直時(shí)，小球下降到最低點(diǎn)，由幾何知識(shí)求小球下降的最大距離H；
（2）在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，對(duì)A、B兩物體組成的系統(tǒng)，只有重力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，當(dāng)小球下降到最低點(diǎn)時(shí)速度為0，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求小物塊的速度大小v；
（3）當(dāng)小物塊下滑到最大距離時(shí)，速度為0，根據(jù)A物體的機(jī)械能的減小量等于B物體機(jī)械能的增加量，求出下滑的最大距離S_m．

解答 解：（1）當(dāng)系小物塊的繩子與桿垂直時(shí)，小球下降到最低點(diǎn)，由幾何知識(shí)得小球下降的最大距離為：
H=L-Lsinθ=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$L
（2）當(dāng)小球下降到最低點(diǎn)時(shí)速度為0，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒得：
m_AgL•cosθ•sinθ+m_BgH=$\frac{1}{2}{m}_{A}{v}^{2}$
又  m_A=m_B=m
聯(lián)立解得：v=$\frac{1}{2}\sqrt{（4-\sqrt{3}）gL}$
（3）設(shè)小物塊能下滑的最大距離為S_m，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒有：
m_AgS_msinθ=m_Bgh_B增
而 h_B增=$\sqrt{（{S}_{m}-Lcosθ）^{2}+（Lsinθ）^{2}}$-L
代入解得：S_m=4（1+$\sqrt{3}$）L
答：（1）小球下降的最大距離H是$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$L；
（2）當(dāng)小球下降到最低點(diǎn)時(shí)，小物塊的速度大小v是$\frac{1}{2}\sqrt{（4-\sqrt{3}）gL}$；
（3）小物塊能下滑的最大距離S_m是4（1+$\sqrt{3}$）L．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道A、B組成的系統(tǒng)，只有重力做功，機(jī)械能守恒．對(duì)于單個(gè)物體，有拉力做功，機(jī)械能不守恒，要靈活運(yùn)用幾何知識(shí)求物體下降的高度．