Question

7．如圖所示，A是y軸上的一點(diǎn)，它到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為h；C是x軸上的一點(diǎn)，到O的距離為l．在坐標(biāo)系xOy的第一象限中存在沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E．在其它象限中存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電的粒子以某一初速度沿x軸方向從A點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)區(qū)域，繼而通過(guò)C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，并再次通過(guò)A點(diǎn)．不計(jì)重力作用．試求：
（1）粒子經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)速度的大小和速度方向和x軸夾角的正切值；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)作用下做類平拋運(yùn)動(dòng)，加速度沿y軸負(fù)方向，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式可求出初速度，再根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性求出C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v，方向可通過(guò)幾何關(guān)系求解．
（2）粒子從C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后在磁場(chǎng)中做速率為v的圓周運(yùn)動(dòng)．理論重量通過(guò)向心力，通過(guò)幾何關(guān)系表示出軌道半徑R，進(jìn)而求出．

解答 解：帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

（1）以a表示粒子在電場(chǎng)作用下的加速度，有：qE=ma   ①加速度沿y軸負(fù)方向．
設(shè)粒子從A點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的初速度為v₀，由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間為t，
則有：h=$\frac{1}{2}$at²　  ②l=v₀t　    ③
由②③式得：v₀=l$\sqrt{\frac{a}{2h}}$   ④
設(shè)粒子從C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v，v垂直于x軸的分量：v₁=$\sqrt{2ah}$　 ⑤
由①④⑤式得：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{1}^{2}}$=$\sqrt{\frac{qE（4{h}^{2}+{l}^{2}）}{2mh}}$  ⑥
設(shè)粒子經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度方向與x軸的夾角為α，則有：tanα=$\frac{{v}_{1}}{{v}_{0}}$�、�
由④⑤⑦式得：tanα=$\frac{2h}{l}$  ⑧
（2）粒子從C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后在磁場(chǎng)中做速率為v的圓周運(yùn)動(dòng)．若圓周的半徑為R，
則有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$　          ⑨
設(shè)圓心為P，則PC必與過(guò)C點(diǎn)的速度垂直，且有：$\overline{PC}$=$\overline{PA}$=R．用β表示$\overline{PA}$與y軸的夾角，
由幾何關(guān)系得：Rcosβ=Rcosα+h　⑩Rsinβ=l-Rsinα⑪
由⑧⑩⑪式解得：R=$\frac{{h}^{2}+{l}^{2}}{2hl}$$\sqrt{4{h}^{2}+{l}^{2}}$⑫
由⑥⑨⑫式解得：B=$\frac{l}{{h}^{2}+{l}^{2}}$$\sqrt{\frac{2mhE}{q}}$．
答：（1）粒子經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)速度的大小是：$\sqrt{\frac{qE（4{h}^{2}+{l}^{2}）}{2mh}}$，速度方向和x軸夾角的正切值是：$\frac{2h}{l}$；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為：$\frac{l}{{h}^{2}+{l}^{2}}$$\sqrt{\frac{2mhE}{q}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了帶電粒子在混合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，要求同學(xué)們能正確分析粒子的受力情況，再通過(guò)受力情況分析粒子的運(yùn)動(dòng)情況，熟練掌握平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的基本公式，并幾何幾何關(guān)系解題，難度較大．