Question

14．如圖所示，質量為M、長為L的薄板置于光滑的水平面上，右端放置質量為m的小物塊，質量為M₀的電動小車通過細繩繞過光滑的小定滑輪與薄板右端相連，小車沿水平平臺帶動薄板（右端位于A點處）由靜止開始向右運動，物塊與薄板間的動摩擦因數(shù)為μ，小車與平臺間的摩擦力大小恰為其重力的μ倍．運動過程中小車電動機的輸出功率恒為P，當薄板向右運動的距離為2L時（未畫出），物塊從薄板左端滑出，此后又經(jīng)過t₀時間，薄板繼續(xù)運動到右端到達B點．已知AO與水平面的夾角為α，BO與水平面的夾角為θ，O點與薄板的高度差為h，重力加速度為g．求：

（1）物塊脫離薄板時的速度大小v₁和運動時間t₁；
（2）從開始運動到薄板的右端到達B點的過程中，系統(tǒng)因摩擦產生的焦耳熱Q；
（3）從開始運動到薄板的右端到達B點的過程中，細繩對薄板的拉力做的功W．

Answer 1

分析 （1）物塊在薄板上滑動時做勻加速運動，由牛頓第二定律求出物塊的加速度，根據(jù)加速度和定義式和速度位移公式求解．
（2）由相對位移與摩擦力大小的乘積求系統(tǒng)因摩擦產生的焦耳熱Q．
（3）對電動小車和物塊、薄板組成的系統(tǒng)分別運用功能原理列式，可求得細繩對薄板的拉力做的功W．

解答 解：（1）物塊脫離薄板前相對薄板向左滑動，在薄板對它的滑動摩擦力作用下相對水平面向右勻加速直線運動，設其加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律有 μmg=ma
根據(jù)加速度的定義有 a=$\frac{{v}_{1}-0}{{t}_{1}}$
根據(jù)勻變速直線運動的規(guī)律有 ${v}_{1}^{2}$=2a（2L-L）
聯(lián)立解得 v₁=$\sqrt{2μgL}$，t₁=$\sqrt{\frac{2L}{μg}}$
（2）根據(jù)功能關系可知，在整個運動過程中，物塊在薄板上滑動產生的焦耳熱為 Q₁=μmgL
電動小車與平臺之間因摩擦產生的焦耳熱 Q₂=μM₀g（$\frac{h}{sinα}$-$\frac{h}{sinθ}$）
所以系統(tǒng)因摩擦產生的焦耳熱 Q=Q₁+Q₂=μmgL+μM₀g（$\frac{h}{sinα}$-$\frac{h}{sinθ}$）；
（3）當薄板的右端到達B點時，設薄板的速度為v₂，電動小車的速度為v．
對電動小車，根據(jù)功能關系有 P（t₁+t₀）=$\frac{1}{2}{M}_{0}{v}^{2}$+W+Q₂．
對物塊、薄板組成的系統(tǒng)，根據(jù)功能關系有 W=$\frac{1}{2}{M}_{0}{v}_{2}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$+Q₁．
根據(jù)薄板、小車的牽連關系可知，兩者速度滿足 v=v₂cosθ
聯(lián)立解得 W=$\frac{MP}{M+{M}_{0}co{s}^{2}θ}$（t₀+$\sqrt{\frac{2L}{μg}}$）-$\frac{μ{M}_{0}g}{M+{M}_{0}co{s}^{2}θ}$（$\frac{Mh}{sinα}$-$\frac{Mh}{sinθ}$-2mLcos²θ）
答：
（1）物塊脫離薄板時的速度大小v₁為$\sqrt{2μgL}$，運動時間t₁為$\sqrt{\frac{2L}{μg}}$．
（2）從開始運動到薄板的右端到達B點的過程中，系統(tǒng)因摩擦產生的焦耳熱Q為μmgL+μM₀g（$\frac{h}{sinα}$-$\frac{h}{sinθ}$）；
（3）從開始運動到薄板的右端到達B點的過程中，細繩對薄板的拉力做的功W為$\frac{MP}{M+{M}_{0}co{s}^{2}θ}$（t₀+$\sqrt{\frac{2L}{μg}}$）-$\frac{μ{M}_{0}g}{M+{M}_{0}co{s}^{2}θ}$（$\frac{Mh}{sinα}$-$\frac{Mh}{sinθ}$-2mLcos²θ）．

點評 解決本題的關鍵是理解并掌握功能原理，能靈活選擇研究對象和過程，分別運用功能原理列方程．要注意摩擦生熱與相對位移有關．