Question

7．如圖所示，以足夠大絕緣彈性擋板水平放置，擋板上方M點(diǎn)與擋板距離為h=3m，M點(diǎn)與擋板上N點(diǎn)的連線垂直于擋板，擋板上方空間存在勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T，一質(zhì)量為m=1×10^-3kg，電荷量為q=1×10^-3C的帶負(fù)電微粒，從擋板上某點(diǎn)出發(fā)，以垂直于擋板的速度進(jìn)入電磁場(chǎng)區(qū)域后恰好能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，微粒若與擋板碰撞時(shí)，將以原速率被彈回，且電荷量不變，g=10m/s²，求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E
（2）若微粒運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能夠擊中M點(diǎn)，求其速度的最小值，以及以該速度運(yùn)動(dòng)時(shí)出發(fā)點(diǎn)與N點(diǎn)的距離d
（3）若微粒從距離N點(diǎn)x=9m的A點(diǎn)出發(fā)，到擊中M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的可能值．（結(jié)果用含π的分?jǐn)?shù)表示）

Answer 1

分析 （1）微粒能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力與重力平衡，相當(dāng)于只受洛倫茲力作用，即可求出勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E的大小，方向根據(jù)負(fù)電荷受力方向與場(chǎng)強(qiáng)方向相反即可判斷；
（2）畫出粒子軌跡過(guò)程圖，利用洛倫茲力提供向心力結(jié)合幾何關(guān)系，即可求出微粒運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能夠擊中M點(diǎn)，其速度的最小值以及以該速度運(yùn)動(dòng)時(shí)出發(fā)點(diǎn)與N點(diǎn)的距離d；
（3）畫出可能的粒子軌跡過(guò)程圖，分別利用幾何關(guān)系求出粒子軌跡半徑，再利用周期公式結(jié)合粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角，即可求出擊中M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的可能值．

解答 解：（1）微粒能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力與重力平衡：qE=mg 
可得：E=$\frac{mg}{q}$=10N/C，方向豎直向下
（2）微粒能擊中M點(diǎn)，且速度最小，則半徑：r=3m
由：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，可得：v=$\frac{qBr}{m}$=3m/s
根據(jù)幾何關(guān)系有：d=r（2n+1）（其中n=0，1，2…）
聯(lián)立可得：d=3（2n+1）m  （其中n=0，1，2…）
（3）設(shè)微粒與擋板碰撞n次，則最大半徑趨近于$\frac{s}{2n}$
要擊中M點(diǎn)，則：$\frac{s}{2n}$≥h
即n≤1.5，故n可能取0或1，畫出可能的粒子軌跡過(guò)程圖，如圖所示，

當(dāng)n=0時(shí)，軌跡如圖中①所示
根據(jù)勾股定理：r²=h²+（s-r）²，
解得：r=5m
sinα=$\frac{h}{r}$=$\frac{3}{5}$，故α=37°
此時(shí)時(shí)間t₁=$\frac{180-37}{360}•\frac{2πm}{qB}$=$\frac{143π}{180}$s
當(dāng)n=1時(shí)，由幾何關(guān)系：r²=h²+（3r-s）²
得：r₁=3m，r₂=3.75m
r₁=3m時(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中②所示，此時(shí)時(shí)間：t₂=$\frac{3}{4}•\frac{2πm}{qB}$=$\frac{3π}{2}$s
r₂=3.75m時(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中③所示，sinβ=$\frac{h}{{r}_{2}}$=$\frac{4}{5}$，故β=53⁰
此時(shí)t₃=$\frac{180+53}{360}•\frac{2πm}{qB}$=$\frac{233π}{180}$s
綜上所述，時(shí)間的可能值為：$\frac{143π}{180}$s，$\frac{3π}{2}$s，$\frac{233π}{180}$s．
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E為10N/C，方向豎直向下；
（2）若微粒運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能夠擊中M點(diǎn)，其速度的最小值為3m/s，出發(fā)點(diǎn)與N點(diǎn)的距離d為3（2n+1）m（其中n=0，1，2…）；
（3）若微粒從距離N點(diǎn)x=9m的A點(diǎn)出發(fā)，到擊中M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的可能值為：$\frac{143π}{180}$s，$\frac{3π}{2}$s，$\frac{233π}{180}$s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，解題關(guān)鍵是要明確解題思路，即：利用洛倫茲力提供向心力結(jié)合臨界幾何關(guān)系，運(yùn)用周期公式結(jié)合粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角求解時(shí)間t，分析第（3）問(wèn)時(shí)解題關(guān)鍵是要畫出所有可能的粒子軌跡過(guò)程圖，對(duì)數(shù)學(xué)幾何能力要求較高．