Question

15．半徑為R的透明半圓柱體玻璃磚豎直放置，截面如圖所示，虛線為過圓心且垂直于直徑MN的水平直線，一束單色光平行于虛線方向射向玻璃磚，入射點A到虛線的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，光線經弧面折射的折射角為30°，再經MN面折射后的光線與虛線的交點為B（未畫出），求：
①玻璃磚的折射率；
②B點到圓心O的距離．

Answer 1

分析 ①根據幾何關系求出光線在A點的入射角，由折射定律求玻璃磚的折射率；
②再由折射定律求出光線射出MN面時的折射角，即可由幾何知識求B點到圓心O的距離．

解答 解：①由題意可知：sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，θ=60°，r₁=30°，i₁=θ，所以：
玻璃磚的折射率 n=$\frac{sin{i}_{1}}{sin{r}_{1}}$=$\frac{sin60°}{sin30°}$=$\sqrt{3}$
②由圖可知 α=30°，所以 i₂=90°-r₁-α=30°
根據折射定律有 n=$\frac{sin{r}_{2}}{sin{i}_{2}}$，解得：r₂=60°．
由幾何關系有 $\overline{AF}$=$\overline{CF}$tani₂=$\frac{\sqrt{3}}{6}$R
所以：$\overline{OC}$=$\overline{AE}$-$\overline{AF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R
$\overline{OB}$=$\overline{OC}$cotr₂=$\frac{R}{3}$．
答：
①玻璃磚的折射率是$\sqrt{3}$；
②B點到圓心O的距離是$\frac{R}{3}$．

點評 對于幾何光學問題，要準確作出光路圖，結合幾何知識和折射定律進行分析和求解．