Question

7．有一輕質木板AB長為L，A端用鉸鏈固定在豎直墻上，另一端用水平輕繩CB拉�。�板上依次放著a、b、c三個圓柱體，半徑均為r，重均為G，木板與墻的夾角為θ，如圖所示，不計一切摩擦，求BC繩上的張力．

Answer 1

分析 依次對圓柱體a、b、c進行受力分析，由共點力的平衡求出它們對桿AB的壓力；最好以AB桿為研究的對象，受力分析，并找出各個力的力矩，在由力矩平衡的條件得出BC的拉力．

解答 解：以圓柱體a為研究的對象，a受到重力、桿的支持力和b的支持力，受力如圖1，則：
N_a=G•cosθ

N_ba=Gsinθ
以圓柱體b為研究的對象，b受到重力、桿的支持力、a對b的壓力，以及c對b的支持力，受力如圖2，則：
N_b=Gcosθ

N_cb=N_ab+Gsinθ
由牛頓第三定律得：N_ab=N_ba
所以：N_cb=2Gsinθ
以圓柱體b為研究的對象，b受到重力、桿的支持力、a對b的壓力，以及c對b的支持力，獎受到的力沿斜面方向與垂直于斜面的方向分解，受力如圖3，則：
由牛頓第三定律得：N_bc=N_cb=2Gsinθ
沿x方向：N₁cosθ=Gsinθ+N_bc
沿y方向：N_c=Gcosθ+N₁sinθ
聯(lián)立以上三式得：N_c=Gcosθ+3Gsinθ•tanθ
以桿AB為研究對象，桿的重力不計，桿受到abc三個圓柱體的壓力與繩子BC的拉力，根據(jù)牛頓第三定律可知，圓柱體對桿的壓力大小等于桿對圓柱體的支持力，各拉力相對于支點A的力臂如圖4，根據(jù)力矩平衡的條件得：

FL₄=N_aL₁+N_bL₂+N_cL₃
其中：${L}_{3}=\frac{r}{sin\frac{θ}{2}}$，L₂=L₃+2r，L₁=L₂+2r，${L}_{4}=\overline{AB}•cosθ=L•cosθ$
聯(lián)立方程，整理得：
$F=\frac{3G}{L}•（\frac{r}{sin\frac{θ}{2}}+2r+\frac{r}{sin\frac{θ}{2}}•\frac{si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}）$
答：BC繩上的張力是$\frac{3G}{L}•（\frac{r}{sin\frac{θ}{2}}+2r+\frac{r}{sin\frac{θ}{2}}•\frac{si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}）$

點評 該題中由于abc三個圓柱體對桿AB的作用點不在同一點，要分別求出圓柱體abc受到的支持力，然后才能使用力矩平衡的條件來解題．題目的思路比較簡單，就是解答的步驟太多太復雜．