Question

7．如圖所示為三個(gè)相鄰的足夠長的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場區(qū)域，邊界PP′、QQ′、MM′、NN′相互平行．取PP′上某點(diǎn)為O點(diǎn)，垂直PP'向下建立y軸．豎直方向電場強(qiáng)度大小為E，寬度都為d．水平磁感強(qiáng)度大小為B，寬度為2d．帶電量為-q、質(zhì)量為m、重力不計(jì)的帶電粒子，從O點(diǎn)以一水平初速度v₀向左進(jìn)入電場I．
（1）求粒子從O點(diǎn)出發(fā)后進(jìn)入磁場區(qū)域II的速度大��；
（2）當(dāng)E=$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2qd}$、B=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qd}$時(shí)，該電荷恰好不能進(jìn)入電場Ⅲ，求粒子從PP′出發(fā)到第一次返回到邊界PP′的這段過程中，粒子的平均速度大��；
（3）當(dāng)粒子的初速度大小為v₁（0≤v₁＜v₀）時(shí)，分析粒子離開磁場時(shí)進(jìn)入電場I還是Ⅲ？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求解粒子從O點(diǎn)出發(fā)后進(jìn)入磁場區(qū)域II的速度大��；
（2）粒子在電場中類平拋運(yùn)動，在磁場中勻速圓周運(yùn)動，畫出運(yùn)動的軌跡，粒子的位移大小等于在電場中的水平位移和磁場中的弦長，求出電場和磁場中運(yùn)動的總時(shí)間，根據(jù)平均速度的定義求解平均速度大��；
（3）寫出粒子在磁場中縱坐標(biāo)的最大位置與QQ'的距離表達(dá)式，再討論得出結(jié)論；

解答 解：（1）在電場中偏轉(zhuǎn)，根據(jù)動能定理有：
$qEd=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2qEd}{m}}$
（2）電場I中：
將$E=\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qd}$帶入得：v=2v₀
在電場中類平拋運(yùn)動，豎直方向：$d=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}_{1}^{2}$ 
解得：${t}_{1}^{\;}=\frac{2\sqrt{3}d}{3{v}_{0}^{\;}}$
水平位移：x₁=v₀t₁=$\frac{2\sqrt{3}d}{3}$ 
得${t}_{1}^{\;}=\frac{2\sqrt{3}d}{3{v}_{0}^{\;}}$
帶電粒子運(yùn)動部分軌跡如圖，

由cosα=$\frac{{v}_{0}^{\;}}{v}$得：α=60⁰
磁場中：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$得：$r=\frac{2m{v}_{0}^{\;}}{qB}$
在磁場中運(yùn)動時(shí)間：${t}_{2}^{\;}=\frac{2α}{2π}•\frac{2πm}{qB}=\frac{2πm}{3qB}$
x₂=2rsinα
全程：${v}_{平}^{\;}=\frac{2{x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}}{2{t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}}$
解上述方程得：${v}_{平}^{\;}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}+π}{v}_{0}^{\;}$
（3）若磁場不受2d寬度限制，粒子在磁場中縱坐標(biāo)最大的位置與QQ'的距離
△y=r（1-cosα）=$\frac{mv}{qB}（1-\frac{{v}_{1}^{\;}}{v}）$=$\frac{m}{qB}（v-{v}_{1}^{\;}）$=$\frac{m}{qB}$（$\sqrt{{v}_{1}^{2}+{v}_{y}^{2}}-{v}_{1}^{\;}$）=$\frac{m}{qB}\frac{{v}_{y}^{\;}}{\sqrt{{v}_{1}^{2}+{v}_{y}^{2}}+{v}_{1}^{\;}}$
可見，v₁越小，△y越大，軌跡的縱坐標(biāo)的最大值反而越大．所以，當(dāng)粒子的初速度大小為v₁（0≤v₁＜v₀）時(shí)，粒子進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅲ．
答：（1）粒子從O點(diǎn)出發(fā)后進(jìn)入磁場區(qū)域II的速度大小$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2qEd}{m}}$；
（2）當(dāng)E=$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2qd}$、B=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qd}$時(shí)，該電荷恰好不能進(jìn)入電場Ⅲ，粒子從PP′出發(fā)到第一次返回到邊界PP′的這段過程中，粒子的平均速度大小為$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}+π}{v}_{0}^{\;}$；
（3）當(dāng)粒子的初速度大小為v₁（0≤v₁＜v₀）時(shí)，粒子離開磁場時(shí)進(jìn)入電場Ⅲ

點(diǎn)評 本題考查帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動，關(guān)鍵是明確運(yùn)動過程，畫出運(yùn)動的軌跡，根據(jù)牛頓第二定律、類似平拋運(yùn)動的分運(yùn)動公式并結(jié)合幾何關(guān)系列式求解，有一定的難度．