Question

19．康樂(lè)棋是群眾喜愛(ài)的運(yùn)動(dòng)之一．棋盤(pán)類(lèi)似臺(tái)球案，但僅四個(gè)底角留有小洞；棋子與中國(guó)象棋的棋子相似，可在棋盤(pán)上滑行．比賽時(shí)，用棋桿撞擊母棋，母棋與目標(biāo)棋子碰撞后，目標(biāo)棋子進(jìn)洞者獲勝．置于水平面上的長(zhǎng)方形棋盤(pán)abcd，ab=1.6m、bc=1.8m，ef為ab、dc中點(diǎn)的連線(xiàn)．某次比賽中，母棋A位于e點(diǎn)，目標(biāo)棋子B位于ef上p點(diǎn)，且pf=0.6m．為使B經(jīng)A碰撞后直接進(jìn)洞，運(yùn)動(dòng)員沿適當(dāng)方向用棋桿撞擊母棋A，A獲得v₀=6m/s的水平速度后開(kāi)始向棋盤(pán)邊框bc滑動(dòng)，被邊框反彈后，沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到p處并與B發(fā)生彈性正碰，之后B沿pd直線(xiàn)向d角棋洞滑動(dòng)．已知m_A=m_B=0．l0kg，棋子與棋盤(pán)間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.2，A與棋盤(pán)邊框碰撞后，平行邊框的速度方向不變、垂直邊框的速度反向，且速率均減小為碰撞前的$\frac{3}{4}$．棋子碰撞前后均沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，將棋子視為質(zhì)點(diǎn)，取g=10m/s²．
（1）求A與棋盤(pán)邊框碰撞后的速度．
（2）若能到達(dá)棋洞上方且速率小于4m/s的棋子均可進(jìn)洞，問(wèn)B能否進(jìn)入棋洞？

Answer 1

分析 （1）由題可知，A棋與邊框碰撞后沿邊框方向的分速度與垂直于邊框方向的分速度都減小為原來(lái)的$\frac{3}{4}$，則合速度也一定是原來(lái)的$\frac{3}{4}$，A與邊框碰撞后的合速度與邊框之間的夾角與碰撞前的速度與邊框之間的夾角是相等的．由幾何關(guān)系確定碰撞點(diǎn)，得出A、p到碰撞點(diǎn)的距離，由動(dòng)能定理即可求出A與棋盤(pán)邊框碰撞后的速度；
（2）由動(dòng)能定理求出A到達(dá)p點(diǎn)的速度，由機(jī)械能守恒與動(dòng)量守恒定律求出碰撞后B的速度，最后由動(dòng)能定理求出B到達(dá)底邊處棋洞的速度，最后比較即可．

解答 解：（1）由題可知，A與邊框碰撞后的合速度與邊框之間的夾角與碰撞前的速度與邊框之間的夾角是相等的，設(shè)A與邊框的碰撞點(diǎn)為D，A的速度與邊框之間的夾角為θ，做dp的連線(xiàn)并延長(zhǎng)與邊框交于D點(diǎn)，然后連接AD如圖；設(shè)A與邊框碰撞前的速度為v₁₀，與邊框碰撞后的速度為v₂₀；

由幾何關(guān)系得：$tanθ=\frac{cd}{Dc}$
同時(shí)：∠cPb=∠dPc
故：$tanθ=\frac{cd}{Pc}$=$\frac{0.5cd}{pf}=\frac{0.5×1.6}{0.6}=\frac{4}{3}$
可知：θ=53°
由幾何關(guān)系可得：Dc=2pf=2×0.6=1.2m，bD=bc-Dc=1.8-1.2=0.6m，eD=$\frac{bD}{cos53°}=\frac{0.6}{0.6}=1$m
A從e到D的過(guò)程中：$\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{10}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{0}^{2}=-μ{m}_{A}g•eD$
代入數(shù)據(jù)得：${v}_{10}=4\sqrt{2}$m/s，
則：${v}_{20}=\frac{3}{4}{v}_{10}=3\sqrt{2}$m/s，方向與邊框之間的夾角為53°
（2）設(shè)A到p的速度為v₃，則：$\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{3}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{20}^{2}=-μ{m}_{A}g•Dp$
代入數(shù)據(jù)得：${v}_{3}=\sqrt{14}$m/s
A與B碰撞的過(guò)程中可以認(rèn)為水平方向的動(dòng)量守恒，選取棋A運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎�方向，則：${m}_{A}{v}_{3}={m}_{A}{v}_{A}^{\;}+{m}_{B}{v}_{B}$
又：$\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{3}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{A}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{B}{{\;}^{2}v}_{B}$
聯(lián)立得：${v}_{A}=0，{v}_{B}=\sqrt{14}$m/s
設(shè)B能到達(dá)D處，到達(dá)d處的速度為v₄，則：$\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{4}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{B}^{2}=-μ{m}_{B}g•pd$
聯(lián)立得：${v}_{4}=\sqrt{10}m/s＜4m/s$
故B可以落入洞中．
答：（1）與棋盤(pán)邊框碰撞后的速度是$3\sqrt{2}$m/s．
（2）若能到達(dá)棋洞上方且速率小于4m/s的棋子均可進(jìn)洞，B能進(jìn)入棋洞．

點(diǎn)評(píng) 該題涉及A運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)過(guò)程、B運(yùn)動(dòng)的一個(gè)過(guò)程以及A與B碰撞的過(guò)程，解答的關(guān)鍵是思路要清晰，同時(shí)明確A與包括碰撞后的合速度與邊框之間的夾角與碰撞前的速度與邊框之間的夾角是相等的．