Question

19．康樂棋是群眾喜愛的運動之一．棋盤類似臺球案，但僅四個底角留有小洞；棋子與中國象棋的棋子相似，可在棋盤上滑行．比賽時，用棋桿撞擊母棋，母棋與目標棋子碰撞后，目標棋子進洞者獲勝．置于水平面上的長方形棋盤abcd，ab=1.6m、bc=1.8m，ef為ab、dc中點的連線．某次比賽中，母棋A位于e點，目標棋子B位于ef上p點，且pf=0.6m．為使B經(jīng)A碰撞后直接進洞，運動員沿適當方向用棋桿撞擊母棋A，A獲得v₀=6m/s的水平速度后開始向棋盤邊框bc滑動，被邊框反彈后，沿直線運動到p處并與B發(fā)生彈性正碰，之后B沿pd直線向d角棋洞滑動．已知m_A=m_B=0．l0kg，棋子與棋盤間的動摩擦因數(shù)均為μ=0.2，A與棋盤邊框碰撞后，平行邊框的速度方向不變、垂直邊框的速度反向，且速率均減小為碰撞前的$\frac{3}{4}$．棋子碰撞前后均沿直線運動，將棋子視為質(zhì)點，取g=10m/s²．
（1）求A與棋盤邊框碰撞后的速度．
（2）若能到達棋洞上方且速率小于4m/s的棋子均可進洞，問B能否進入棋洞？

Answer 1

分析 （1）由題可知，A棋與邊框碰撞后沿邊框方向的分速度與垂直于邊框方向的分速度都減小為原來的$\frac{3}{4}$，則合速度也一定是原來的$\frac{3}{4}$，A與邊框碰撞后的合速度與邊框之間的夾角與碰撞前的速度與邊框之間的夾角是相等的．由幾何關(guān)系確定碰撞點，得出A、p到碰撞點的距離，由動能定理即可求出A與棋盤邊框碰撞后的速度；
（2）由動能定理求出A到達p點的速度，由機械能守恒與動量守恒定律求出碰撞后B的速度，最后由動能定理求出B到達底邊處棋洞的速度，最后比較即可．

解答 解：（1）由題可知，A與邊框碰撞后的合速度與邊框之間的夾角與碰撞前的速度與邊框之間的夾角是相等的，設(shè)A與邊框的碰撞點為D，A的速度與邊框之間的夾角為θ，做dp的連線并延長與邊框交于D點，然后連接AD如圖；設(shè)A與邊框碰撞前的速度為v₁₀，與邊框碰撞后的速度為v₂₀；

由幾何關(guān)系得：$tanθ=\frac{cd}{Dc}$
同時：∠cPb=∠dPc
故：$tanθ=\frac{cd}{Pc}$=$\frac{0.5cd}{pf}=\frac{0.5×1.6}{0.6}=\frac{4}{3}$
可知：θ=53°
由幾何關(guān)系可得：Dc=2pf=2×0.6=1.2m，bD=bc-Dc=1.8-1.2=0.6m，eD=$\frac{bD}{cos53°}=\frac{0.6}{0.6}=1$m
A從e到D的過程中：$\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{10}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{0}^{2}=-μ{m}_{A}g•eD$
代入數(shù)據(jù)得：${v}_{10}=4\sqrt{2}$m/s，
則：${v}_{20}=\frac{3}{4}{v}_{10}=3\sqrt{2}$m/s，方向與邊框之間的夾角為53°
（2）設(shè)A到p的速度為v₃，則：$\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{3}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{20}^{2}=-μ{m}_{A}g•Dp$
代入數(shù)據(jù)得：${v}_{3}=\sqrt{14}$m/s
A與B碰撞的過程中可以認為水平方向的動量守恒，選取棋A運動的方向為正方向，則：${m}_{A}{v}_{3}={m}_{A}{v}_{A}^{\;}+{m}_{B}{v}_{B}$
又：$\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{3}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{A}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{B}{{\;}^{2}v}_{B}$
聯(lián)立得：${v}_{A}=0，{v}_{B}=\sqrt{14}$m/s
設(shè)B能到達D處，到達d處的速度為v₄，則：$\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{4}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{B}^{2}=-μ{m}_{B}g•pd$
聯(lián)立得：${v}_{4}=\sqrt{10}m/s＜4m/s$
故B可以落入洞中．
答：（1）與棋盤邊框碰撞后的速度是$3\sqrt{2}$m/s．
（2）若能到達棋洞上方且速率小于4m/s的棋子均可進洞，B能進入棋洞．

點評 該題涉及A運動的兩個過程、B運動的一個過程以及A與B碰撞的過程，解答的關(guān)鍵是思路要清晰，同時明確A與包括碰撞后的合速度與邊框之間的夾角與碰撞前的速度與邊框之間的夾角是相等的．