Question

13．某物理課外興趣小組設(shè)計(jì)了如圖所示裝置，AB段為一豎直圓管，BC為一半徑為R=0.4m的半圓軌道，C端的下方有一質(zhì)量為M=2kg的小車，車上有半徑r=0.2m的半圓軌道，E為軌道最低點(diǎn)，左側(cè)緊靠一固定障礙物，在直管的下方固定一鎖定的處于壓縮的輕質(zhì)彈簧，彈簧上端放置一質(zhì)量為m=1kg的小球（小球直徑略小于圓管的直徑，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于R、r）．小球到B端的距離為h₁=1.2m，C、D間豎直距離為h₂=1m．某時(shí)刻，解除彈簧的鎖定，小球恰好能通過BC的最高點(diǎn)P；從C端射出后恰好從D端沿切線進(jìn)入半圓軌道DEF，并能從F端飛出．若各個(gè)接觸面都光滑，重力加速度取g=10m/s²，則：
（1）彈簧被釋放前具有的彈性勢(shì)能E_P大小是多少？
（2）小球從F點(diǎn)飛出后能上升的最大高度是多少？
（3）小球下落返回到E點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小是多少？

Answer 1

分析 （1）對(duì)小球應(yīng)用機(jī)械能守恒定律與牛頓第二定律可以求出彈簧的彈性勢(shì)能；
（2）由機(jī)械能守恒定律與動(dòng)量守恒定律可以求出小球上升的最大高度；
（3）由動(dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒定律可以求出速度，然后由運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性求出相對(duì)速度，最后由牛頓第二定律求出壓力．

解答 解：（1）由A到P過程中，小球機(jī)械能守恒，
由機(jī)械能守恒定律得：E_P=mg（h₁+R）+$\frac{1}{2}$mv²，
在P點(diǎn)，由牛頓第二定律得：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：E_P=18J，v=2m/s；
（2）P到E過程中，小球機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律得：
mg（R+h₂+r）=$\frac{1}{2}$mv_P²+$\frac{1}{2}$mv_E²，
解得：v_E=6m/s，
小球由E上升到最高點(diǎn)過程中，小球與車組成的系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，以球的初速度方向?yàn)檎�方向，由�?dòng)量守恒定律得：
mv_E=（M+m）v，
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv_E²=$\frac{1}{2}$（M+m）v²+mg（h+r），
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得：h=1m；
（3）小球從第一次經(jīng)過E點(diǎn)到再次返回到E點(diǎn)的過程中，小球與小車組成的系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，
以小球的初速度方向?yàn)檎�方向，由�?dòng)量守恒定律得：mv_E=mv₁+Mv₂，
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv_E²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$Mv₂²，
解得，小球的速度大�。簐₁=2m/s，方向水平向左，
小車的速度大�。簐₂=4m/s，方向水平向右；
小球與小車運(yùn)動(dòng)的方向相反，所以二者的相對(duì)速度：u=|v₁|+|v₂|=2+4=6m/s
則小球受到的支持力：${F}_{N}=mg+\frac{m{u}^{2}}{r}$=190N
根據(jù)牛頓第三定律可知，小球?qū)�軌道的壓力�?90N．
答：（1）彈簧被釋放前具有的彈性勢(shì)能為18J；
（2）小球從F點(diǎn)飛出后能上升的最大高度為1m；
（3）小球下落返回到E點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的壓力大小是190N．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道力學(xué)綜合題，運(yùn)動(dòng)過程較復(fù)雜，分析清楚運(yùn)動(dòng)過程是正確解題的前提與關(guān)鍵，分析清楚運(yùn)動(dòng)過程后，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律、牛頓第二定律即可正確解題．