Question

13．某物理課外興趣小組設計了如圖所示裝置，AB段為一豎直圓管，BC為一半徑為R=0.4m的半圓軌道，C端的下方有一質量為M=2kg的小車，車上有半徑r=0.2m的半圓軌道，E為軌道最低點，左側緊靠一固定障礙物，在直管的下方固定一鎖定的處于壓縮的輕質彈簧，彈簧上端放置一質量為m=1kg的小球（小球直徑略小于圓管的直徑，遠遠小于R、r）．小球到B端的距離為h₁=1.2m，C、D間豎直距離為h₂=1m．某時刻，解除彈簧的鎖定，小球恰好能通過BC的最高點P；從C端射出后恰好從D端沿切線進入半圓軌道DEF，并能從F端飛出．若各個接觸面都光滑，重力加速度取g=10m/s²，則：
（1）彈簧被釋放前具有的彈性勢能E_P大小是多少？
（2）小球從F點飛出后能上升的最大高度是多少？
（3）小球下落返回到E點時對軌道的壓力大小是多少？

Answer 1

分析 （1）對小球應用機械能守恒定律與牛頓第二定律可以求出彈簧的彈性勢能；
（2）由機械能守恒定律與動量守恒定律可以求出小球上升的最大高度；
（3）由動量守恒定律與機械能守恒定律可以求出速度，然后由運動的相對性求出相對速度，最后由牛頓第二定律求出壓力．

解答 解：（1）由A到P過程中，小球機械能守恒，
由機械能守恒定律得：E_P=mg（h₁+R）+$\frac{1}{2}$mv²，
在P點，由牛頓第二定律得：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：E_P=18J，v=2m/s；
（2）P到E過程中，小球機械能守恒，由機械能守恒定律得：
mg（R+h₂+r）=$\frac{1}{2}$mv_P²+$\frac{1}{2}$mv_E²，
解得：v_E=6m/s，
小球由E上升到最高點過程中，小球與車組成的系統(tǒng)在水平方向動量守恒，系統(tǒng)機械能守恒，以球的初速度方向為正方向，由動量守恒定律得：
mv_E=（M+m）v，
由機械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv_E²=$\frac{1}{2}$（M+m）v²+mg（h+r），
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得：h=1m；
（3）小球從第一次經過E點到再次返回到E點的過程中，小球與小車組成的系統(tǒng)在水平方向動量守恒，系統(tǒng)機械能守恒，
以小球的初速度方向為正方向，由動量守恒定律得：mv_E=mv₁+Mv₂，
由機械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv_E²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$Mv₂²，
解得，小球的速度大�。簐₁=2m/s，方向水平向左，
小車的速度大�。簐₂=4m/s，方向水平向右；
小球與小車運動的方向相反，所以二者的相對速度：u=|v₁|+|v₂|=2+4=6m/s
則小球受到的支持力：${F}_{N}=mg+\frac{m{u}^{2}}{r}$=190N
根據(jù)牛頓第三定律可知，小球對軌道的壓力為190N．
答：（1）彈簧被釋放前具有的彈性勢能為18J；
（2）小球從F點飛出后能上升的最大高度為1m；
（3）小球下落返回到E點時，對軌道的壓力大小是190N．

點評 本題是一道力學綜合題，運動過程較復雜，分析清楚運動過程是正確解題的前提與關鍵，分析清楚運動過程后，應用機械能守恒定律、動量守恒定律、牛頓第二定律即可正確解題．