Question

8．如圖所示，A、B兩個(gè)小球質(zhì)量均為2m，小球C質(zhì)量為m，三球與三根勁度系數(shù)均為k的輕質(zhì)彈簧相連，三個(gè)小球均置于粗糙的水平地面上，彈簧與地面不接觸，三球與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，現(xiàn)在小球C上作用以水平外力F，使三個(gè)小球一起向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)三個(gè)小球正好構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為l等邊三角形．求：
（1）兩根彈簧對(duì)C球的作用力合力T大�。�
（2）連接A、B和B、C間彈簧的原長(zhǎng)l₁、l₂．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律由整體法求得C球運(yùn)動(dòng)的加速度，再根據(jù)牛頓第二定律求得兩根彈簧對(duì)C球的作用力的合力T大小；
（2）根據(jù)AC、BC間的夾角由合力大小求得彈簧彈力大小，再根據(jù)胡克定律求得彈簧的原長(zhǎng)．

解答 解：（1）以三個(gè)小球整體為研究對(duì)象，在水平方向根據(jù)牛頓第二定律求得整體運(yùn)動(dòng)的加速度滿足：
F-μ（m_A+m_B+m_C）g=（m_A+m_B+m_C）a
所以整體運(yùn)動(dòng)的加速度為：a=$\frac{F}{5m}-μg$
再以小球C為研究對(duì)象，小球C水平方向受到外力F及兩個(gè)彈簧的彈力作用，則根據(jù)牛頓第二定律有：
F-T-μm_Cg=m_Ca
所以彈簧彈力的合力為：T=F-m_Ca-μm_Cg=F-$m（\frac{F}{5m}-μg）$-μmg=$\frac{4}{5}F$
（2）以C球?yàn)檠芯繉?duì)象有兩彈簧彈力F_AC=F_BC，又其合力為T=$\frac{4}{5}F$，兩力成60°角，故有：
F_AC=F_BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}T$=$\frac{\sqrt{3}}{3}•\frac{4}{5}F$
根據(jù)胡克定律知：F_BC=k（l-l₂）
可得彈簧BC原長(zhǎng)為：${l}_{2}=l-\frac{{F}_{BC}}{k}$=$l-\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}•\frac{4}{5}F}{k}$
小球A和小球B的加速度與小球C一致，AB間彈簧處于壓縮狀態(tài)，其彈力大小滿足：
${F}_{AB}={F}_{BC}•sin30°=\frac{1}{2}{F}_{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}•\frac{4}{5}F$=k（l₁-l）
可得彈簧AB原長(zhǎng)為：l₁=$l+\frac{\sqrt{3}}{6k}•\frac{4}{5}F$=$l+\frac{2\sqrt{3}F}{15k}$
答：（1）兩根彈簧對(duì)C球的作用力合力T大小為$\frac{4}{5}F$．
（2）連接A、B和B、C間彈簧的原長(zhǎng)l₁、l₂分別為$l-\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}•\frac{4}{5}F}{k}$，$l+\frac{2\sqrt{3}F}{15k}$．

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)力的合成求得小球運(yùn)動(dòng)時(shí)彈簧的受力，再根據(jù)胡克定律求得彈簧原長(zhǎng)即可．