Question

2．如圖，在0≤x≤a的區(qū)域有垂直于紙面向里的勻強磁場；磁感應(yīng)強度的大小為B；在x＞a的區(qū)域有垂直于紙面向外的均強磁場，磁感應(yīng)強度的大小也為B．質(zhì)量為m，電荷量為q（q＞0）的粒子沿x軸從原點O射入磁場，不計重力．
（1）若粒子在磁場中的軌道半徑為$\sqrt{2}$a，求其軌跡與x軸交點的橫坐標；
（2）為使粒子返回原點，粒子的入射速度應(yīng)為多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子在0＜x≤a中運動半徑求出其對應(yīng)的圓心角，通過x＞a的區(qū)域后，離開磁場時與x軸垂直，說明圓心在x軸上，根據(jù)幾何關(guān)系即可求得坐標；
（2）根據(jù)題干確定粒子的運動軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求出粒子的半徑，進而確定初速度．

解答 解：（1）帶電粒子的運動軌跡如圖甲所示，O1、O2分別為軌跡的圓心，由幾何關(guān)系可得θ=45°．
O₁A=O₂A=2a
${O}_{2}B=AO={O}_{1}A-R=（2-\sqrt{2}）a$
則$BC=\sqrt{{R}^{2}-[（2-\sqrt{2}）a]^{2}}=2\sqrt{\sqrt{2}-1}a$
則軌跡與x軸交點橫坐標為：
$x={O}_{2}A+BC=2（1+\sqrt{\sqrt{2}-1}）a$
（2）粒子的運動軌跡如圖乙所示，設(shè)此時軌跡半徑為r，則由
幾何關(guān)系可得
r-rcosθ=rcosθ
則cos$θ=\frac{1}{2}$，即θ=60°
則軌跡半徑$r=\frac{a}{sin60°}=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$
而$Bqv=m\frac{{v}^{2}}{r}$
則$v=\frac{2\sqrt{3}Bqa}{3m}$
答：（1）其軌跡與x軸交點的橫坐標為$2（1+\sqrt{\sqrt{2}-1}）a$；
（2）為使粒子返回原點，粒子的入射速度應(yīng)為$\frac{2\sqrt{3}Bqa}{3m}$．

點評 此題數(shù)理融合得較好，能較好地考查學(xué)生的理解推理能力、分析綜合能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力．帶電粒子在電場、磁場、復(fù)合場中的運動，是重點類大學(xué)自主招生的重要考點之一．借助于幾何圖形，借助于數(shù)學(xué)知識，往往可以找到解題的途徑．因此，對于帶電粒子在電場、磁場、復(fù)合場中的運動，需要注重提高學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想．