Question

【題目】某傳送裝置如圖所示，檔板M固定在水平臺(tái)面上，連接有輕彈簧K，A、B是水平傳送帶的左、右兩端點(diǎn)，B點(diǎn)右側(cè)通過另一水平臺(tái)面BC與豎直半圓固定軌道CDH連接，D是半圓的中點(diǎn)，用質(zhì)量m=1kg的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）向左緩慢擠壓彈簧使其具有一定的彈性勢(shì)能E并用細(xì)線鎖定（彈簧與物塊不拴接）．已知傳送帶順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，其速度v=4m/s，A、B間的距離L=2m，物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5（其余接觸面不計(jì)摩擦）.圓軌道的半徑R=1m，重力加速度取g=10m/s2．某時(shí)刻剪斷細(xì)線，釋放物塊。

(1)若彈簧的彈性勢(shì)能E=2J，則物塊在傳送帶上第一次由A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間是多少？

(2)在這個(gè)過程中系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量Q是多少？

(3)若要物塊釋放后能滑上半圓軌道且沿半圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離軌道，求彈簧的彈性勢(shì)能E應(yīng)滿足的條件。

Answer 1

【答案】（1）0.6s；（2）2.0J；（3）或

【解析】

（1）若彈簧的彈性勢(shì)能E=2J，設(shè)釋放后物塊在A點(diǎn)獲得的速度為v0，有

可得

v0=2m/s

因v0＜v，故物塊滑上傳送帶后受摩擦力作用而做加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)其加速度大小為a，對(duì)物塊由牛頓第二定律

μmg=ma

可得

a=5m/s2

設(shè)物塊加速至v與傳送帶共速需要時(shí)間t1，所需位移x1，有

因x1＜L，故物塊此后在傳送帶上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，其時(shí)間

故物塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)時(shí)間

t=t1+t2=0.6s

（2）上述過程中物塊相對(duì)傳送帶的位移

產(chǎn)生的熱量

（3）物塊經(jīng)過B點(diǎn)由C滑上圓軌道，若剛好到達(dá)D點(diǎn)，則在D點(diǎn)的速度為零，設(shè)其在C點(diǎn)的速度為v1，對(duì)C→D，由機(jī)械能守恒有

可得

因v1＞v，故物塊在傳送帶上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)此情況彈簧對(duì)應(yīng)的彈性勢(shì)能為E1，對(duì)物塊釋放到運(yùn)動(dòng)到C，由動(dòng)能定理有

由功能關(guān)系有彈簧具有的彈性勢(shì)能

E1=W1

可得

E1=20J

若物塊剛好到達(dá)H點(diǎn)，設(shè)其在H點(diǎn)的速度為v2，在H點(diǎn)由牛頓第二定律有

可得

對(duì)物塊釋放到運(yùn)動(dòng)H，由動(dòng)能定理有

由功能關(guān)系有彈簧具有的彈性勢(shì)能

E2=W2

可得

E2=35J

綜上所述，要物塊釋放后不脫離圓軌道，彈簧的彈性勢(shì)能E應(yīng)滿足：E≥35J或0J＜E≤20J；