Question

3．如圖所示，AOB是光滑水平軌道，BC是半徑為R的光滑的$\frac{1}{4}$固定圓弧軌道，兩軌道恰好相切．質(zhì)量為M=3m的小木塊靜止在O點(diǎn)，一個(gè)質(zhì)量為m的子彈以某一初速度水平向右射入小木塊內(nèi)，并留在其中和小木塊一起運(yùn)動(dòng)．且恰能到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)C（木塊和子彈均可以看成質(zhì)點(diǎn)）．
①求子彈射入木塊前的速度．
②若每當(dāng)小木塊返回到O點(diǎn)或停止在O點(diǎn)時(shí)，立即有相同的子彈射入小木塊，并留在其中，則當(dāng)?shù)?顆子彈射入小木塊后，小木塊沿圓弧軌道能上升的最大高度為多少？

Answer 1

分析 （1）第一顆子彈射入木塊的過(guò)程，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以子彈的初速度方向?yàn)檎�方向，由�?dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒定律可以求出初速度；
（2）由動(dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒定律求出最大高度．

解答 解：（1）第一顆子彈射入木塊的過(guò)程，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以子彈的初速度方向?yàn)檎�方向，由�?dòng)量守恒定律得：
mv₀=（m+M）v₁，
系統(tǒng)由O到C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$（m+M）v₁²=（m+M）gR，
已知：M=3m，
解得：v₀=$4\sqrt{2gR}$；
（2）由動(dòng)量守恒定律可知，第2、4、6…顆子彈射入木塊后，木塊的速度為0，第1、3、5…顆子彈射入后，木塊運(yùn)動(dòng)．當(dāng)?shù)?顆子彈射入木塊時(shí)，以子彈初速度方向?yàn)檎�方向，由�?dòng)量守恒定律得：
mv₀=（5m+M）v₅，
設(shè)此后木塊沿圓弧上升的最大高度為H，由機(jī)械能守恒得：
$\frac{1}{2}$（5m+M）v₅²=（5m+M）gH，
由以上各式可得：H=$\frac{1}{4}$R；
答：（1）子彈射入木塊前的速度為$4\sqrt{2gR}$．
（2）若每當(dāng)小木塊返回到O點(diǎn)或停止在O點(diǎn)時(shí)，立即有相同的子彈射入小木塊，并留在其中，則當(dāng)?shù)?顆子彈射入小木塊后，小木塊沿圓弧軌道能上升的最大高度為$\frac{1}{4}$R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求速度與木塊上升的高度問(wèn)題，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程、應(yīng)用動(dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒定律即可正確解題．