Question

7．天文學(xué)家經(jīng)過長期觀察，在河外星系發(fā)現(xiàn)了LMCX-3雙星系統(tǒng)，它由可見星A和不可見的暗星B構(gòu)成．A、B圍繞兩者連線上的O點作勻速圓周運動，它們之間的距離r保持不變，如圖所示．已知A、B兩星的質(zhì)量分別為m、M，且可視為質(zhì)點，不考慮其它天體的影響，萬有引力常量為G，則下列說法中正確的是（　　）

• A． 兩星運動的角速度之比ω_A：ω_B=m：M
• B． 兩星運動的線速度之比v_A：v_B=（m+M）：M
• C． 兩星運動的向心加速度之比a_A：a_B=M：m
• D． A星運動周期T=2$π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{2}}{G（m+M）}}$

Answer 1

分析 抓住A、B做圓周運動的向心力相等，角速度相等，求出A、B軌道半徑的關(guān)系，從而得知A、B距離為A衛(wèi)星的軌道半徑關(guān)系，由v=ωr求出線速度的關(guān)系．
根據(jù)牛頓第二定律得出加速度的大小關(guān)系；
根據(jù)萬有引力提供向心力求出A的周期．

解答 解：A、A、B圍繞兩者連線上的O點作勻速圓周運動，它們的角速度是相等的．故A錯誤；
B、設(shè)A、B圓軌道的半徑分別為r₁、r₂，由題意知，A、B的角速度相等，為ω，
有：${F}_{A}=m{r}_{1}{ω}^{2}$，${F}_{B}=M{r}_{2}{ω}^{2}$，又F_A=F_B．
所以：$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}=\frac{M}{m}$
又：v=ωr
所以：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}=\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}=\frac{M}{m}$．故B錯誤；
C、二者之間的萬有引力大小相等，方向相反，根據(jù)牛頓第二定律：F=ma可得：
$\frac{{a}_{A}}{{a}_{B}}=\frac{M}{m}$．故C正確；
D、A、B之間的距離為r，由萬有引力定律得，${F}_{A}=\frac{GmM}{{r}^{2}}$=$\frac{m•4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$．
聯(lián)立得：T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$．故D錯誤．
故選：C

點評 本題是雙子星問題，關(guān)鍵抓住雙子星所受的萬有引力相等，轉(zhuǎn)動的角速度相等，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律綜合求解．