Question

8．如圖所示，豎直放置的光滑半圓形軌道與動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.34的水平面AB相切于B點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)相距L=2.5m，半圓形軌道的最高點(diǎn)為C，現(xiàn)將一質(zhì)量為m=0.1kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）以初速度v₀=9m/s沿AB軌道從A點(diǎn)彈出，g=10m/s²．求
（1）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小及小球在A、B之間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（2）欲使小球能從最高點(diǎn)C水平拋出，則半圓形軌道的半徑應(yīng)滿足怎樣的設(shè)計(jì)要求？
（3）在滿足上面（2）設(shè)計(jì)要求的前提下，半圓形軌道的半徑為多大時(shí)可以讓小球落到水平軌道上時(shí)離B點(diǎn)最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)距離是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小，根據(jù)位移等于平均速度乘以時(shí)間，列式求解時(shí)間．
（2）欲使小球能從最高點(diǎn)C水平拋出，C點(diǎn)的速度必須滿足m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$≥mg，結(jié)合機(jī)械能守恒定律列式求解．
（3）由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得到水平位移與軌道半徑的關(guān)系，再由數(shù)學(xué)知識求解最值及條件．

解答 解：（1）A到B過程，由動(dòng)能定理得：
-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
可得：v_B=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2μgL}$=$\sqrt{{9}^{2}-2×0.34×10×2.4}$=8m/s
由L=$\frac{{v}_{0}{+v}_{B}}{2}$t，得：t=$\frac{2L}{{v}_{0}+{v}_{B}}$=$\frac{5}{9+8}$s≈0.29s
（2）B到C過程，由機(jī)械能守恒得：
2mgr+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
欲使小球能從最高點(diǎn)C水平拋出，C點(diǎn)的速度必須滿足：m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$≥mg
聯(lián)立解得：r≤1.28m
（3）小球離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
x=v_Ct
2r=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
結(jié)合上題的結(jié)果可得：x=2$\sqrt{（{v}_{B}^{2}-4gr）•\frac{r}{g}}$=2$\sqrt{（{v}_{B}^{2}-4gr）•\frac{4gr}{4{g}^{2}}}$
根據(jù)數(shù)學(xué)知識知，當(dāng)${v}_{B}^{2}$-4gr=4gr，即r=$\frac{{v}_{B}^{2}}{8g}$=$\frac{{8}^{2}}{80}$m=0.8m時(shí)，x有最大值，最大值為：
x_max=3.2m
答：（1）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小是8m/s，小球在A、B之間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是0.29s；
（2）欲使小球能從最高點(diǎn)C水平拋出，則半圓形軌道的半徑應(yīng)滿足r≤1.28m的設(shè)計(jì)要求．
（3）在滿足上面（2）設(shè)計(jì)要求的前提下，半圓形軌道的半徑為0.8m時(shí)可以讓小球落到水平軌道上時(shí)離B點(diǎn)最遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)距離是3.2m．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵要正確分析三個(gè)運(yùn)動(dòng)過程的規(guī)律，把握臨界條件，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識求極大值．