Question

8．如圖甲，MN、PQ兩條平行的光滑金屬軌道與水平面成θ=37°角固定，M、P之間接電阻箱R，導(dǎo)軌所在空間存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于軌道平面向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=0.5T．質(zhì)量為m的金屬桿a b水平放置在軌道上，其接入電路的電阻值為r．現(xiàn)從靜止釋放桿a b，測(cè)得最大速度為v_m．改變電阻箱的阻值R，得到v_m與R的關(guān)系如圖乙所示．已知軌距為L(zhǎng)=2m，重力加速度g取l0m/s²，軌道足夠長(zhǎng)且電阻不計(jì)．求：

（1）桿a b下滑過(guò)程中感應(yīng)電流的方向及R=0時(shí)最大感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E的大�。�
（2）金屬桿的質(zhì)量m和阻值r；
（3）當(dāng)R=4Ω時(shí)，求回路瞬時(shí)電功率每增加1W的過(guò)程中合外力對(duì)桿做的功W．

Answer 1

分析 （1）由圖讀出R=0時(shí)桿ab的最大速度，由E=BLv求解感生電動(dòng)勢(shì)E的大小，由右手定則判斷出桿中的電流方向；
（2）根據(jù) E=BLv、I=$\frac{E}{R+r}$、F=BIL推導(dǎo)出安培力的表達(dá)式，當(dāng)桿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度最大，由平衡條件得到最大速度v_m與R的關(guān)系式，根據(jù)圖象的斜率和縱截距求解金屬桿的質(zhì)量m和阻值r；
（3）由E=BLv和P=$\frac{{E}^{2}}{R+r}$得到瞬時(shí)電功率增大量△P，根據(jù)動(dòng)能定理求出合外力對(duì)桿做的功W．

解答 解：（1）由右手定則可知，桿中電流方向從b→a （或aMPba），
由圖示圖象可知，當(dāng)R=0 時(shí)，桿最終以v=2m/s勻速運(yùn)動(dòng)，
產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)：E=BLv=0.5×2×2=2V；
（2）設(shè)最大速度為v，桿切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E=BLv，
由閉合電路的歐姆定律：I=$\frac{E}{R+r}$，
桿達(dá)到最大速度時(shí)滿足：mgsinθ-BIL=0，
解得：v=$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$R+$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$r．
由圖象可知：斜率為k=$\frac{4-2}{2}$=1m/（s•Ω），
縱截距為v₀=2m/s，得到：$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$r=v₀，$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$=k，
解得：m=$\frac{1}{6}$kg≈0.17kg，r=2Ω．
（3）感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E=BLv，
功率：P=$\frac{{E}^{2}}{R+r}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R+r}$，△P=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}^{2}}{R+r}$-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}^{2}}{R+r}$，
由動(dòng)能定理得：W=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²，W=$\frac{m（R+r）}{2{B}^{2}{L}^{2}}$△P，
代入數(shù)據(jù)解得：W=0.5J．
答：（1）桿ab下滑過(guò)程中感應(yīng)電流的方向：由b流向a，R=0時(shí)最大感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E的大小為2V；
（2）金屬桿的質(zhì)量m為0.17kg，阻值r為2歐姆；
（3）當(dāng)R=4Ω時(shí)，回路瞬時(shí)電功率每增加1W的過(guò)程中合外力對(duì)桿做的功W為0.5J．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律、牛頓第二定律等，綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生能力的要求較高，其中安培力的分析和計(jì)算是關(guān)鍵．