Question

5．如圖，金屬平行導(dǎo)線框MM′N′N和平行導(dǎo)軌PQR、P′Q′R′分別固定在高度差為h（數(shù)值未知）的水平臺(tái)面上．導(dǎo)線框MM′N′N左端接有電源，MN與M′N′的間距為L=0.10m，線框空間存在豎直向上的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁=0.20T；平行導(dǎo)軌間距離為L=0.10m，其中PQ與P′Q′是圓心角為60°、半徑為r=0.20m的圓弧導(dǎo)軌，QR與Q′R′是水平長直導(dǎo)軌，Q Q′右側(cè)有方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂=0.40T．導(dǎo)體棒a質(zhì)量m₁=0.02kg，電阻R₁=2.0Ω，放置在導(dǎo)線框右側(cè)N′N邊緣處；導(dǎo)體棒b質(zhì)量m₂=0.04kg，電阻R₂=4.0Ω，放置在水平導(dǎo)軌某處．閉合開關(guān)K后，通過電源的電荷量q=2.0C，導(dǎo)體棒a從NN水平拋出，恰能無碰撞地從PP′處滑入平行導(dǎo)軌．重力加速度g取10m/s²，求：

（1）導(dǎo)體棒a離開NN′時(shí)的速度；
（2）導(dǎo)體棒b的最大加速度；（結(jié)果可保留根式）
（3）導(dǎo)體棒b中產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)量定理結(jié)合電荷量的計(jì)算公式求解；
（2）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律結(jié)合法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路的歐姆定律、牛頓第二定律列方程求解；
（3）兩棒運(yùn)動(dòng)過程中系統(tǒng)動(dòng)量，根據(jù)動(dòng)量守恒定律列方程，再根據(jù)功能關(guān)系得電路產(chǎn)生的總電熱，根據(jù)串聯(lián)規(guī)律求解金屬棒b中產(chǎn)生焦耳熱．

解答 解：（1）閉合開關(guān)K后，導(dǎo)體棒受到向右的安培力，在安培力的沖量作用下水平拋出，
根據(jù)動(dòng)量定理可得：B₁IL△t=m₁v₀
即B₁Lq=m₁v₀，
解得v₀=$\frac{{B}_{1}Lq}{{m}_{1}}$=$\frac{0.2×0.1×2.0}{0.02}$m/s=2m/s；
（2）設(shè)導(dǎo)體棒a到PP′時(shí)的豎直分速度為v_1y，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：
v_1y=v₀tan60°=2$\sqrt{3}$m/s，
平拋下落的高度h_NP=$\frac{{v}_{1y}^{2}}{2g}$=0.6m；
所以兩平臺(tái)的高度差：h=h_NP+h_PQ=0.6+rcos60°=0.7m；
設(shè)導(dǎo)體棒a滑到水平導(dǎo)軌上時(shí)速度為v₂，有
mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
解得：v₂=3$\sqrt{2}$m/s；
此時(shí)回路中感應(yīng)電動(dòng)勢、感應(yīng)電流最大，導(dǎo)體棒b的加速度最大
根據(jù)閉合電路的歐姆定律可得：I_m=$\frac{{B}_{2}L{v}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=$\frac{0.4×0.1×3\sqrt{2}}{2+4}$=$\frac{\sqrt{2}}{50}$A，
根據(jù)牛頓第二定律可得：a_m=$\frac{{B}_{2}{I}_{m}L}{{m}_{2}}$=$\frac{0.4×0.1×\frac{\sqrt{2}}{50}}{0.04}$m/s²=$\frac{\sqrt{2}}{50}$m/s²；
（3）兩導(dǎo)體棒將產(chǎn)生相反的感應(yīng)電動(dòng)勢，當(dāng)兩棒的感應(yīng)電動(dòng)勢大小相等時(shí)閉合回路的電流為零，此后兩棒將做勻速運(yùn)動(dòng)．
兩棒運(yùn)動(dòng)過程中系統(tǒng)動(dòng)量守恒，則：m₁v₂=（m₁+m₂）v₃，
解得：v₃=$\sqrt{2}$m/s；
由功能關(guān)系得電路產(chǎn)生的總電熱為
Q_總=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{v}_{3}^{2}$=0.12J；
根據(jù)串聯(lián)規(guī)律可知金屬棒b中產(chǎn)生焦耳熱為：Q_總=$\frac{2}{3}Q$=0.08J．
答：（1）導(dǎo)體棒a離開NN′時(shí)的速度為2m/s；
（2）導(dǎo)體棒b的最大加速度為$\frac{\sqrt{2}}{50}$m/s²；
（3）導(dǎo)體棒b中產(chǎn)生的焦耳熱為0.12J．

點(diǎn)評 對于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問題，根據(jù)動(dòng)能定理、功能關(guān)系等列方程求解．