Question

14．質(zhì)量為m=1kg的小物塊輕輕放在水平勻速運動的傳送帶上的P點，隨傳送帶運動到與P點在同一水平面上的A點后水平拋出，小物塊恰好無碰撞的沿圓弧切線從B點進入豎直光滑圓形軌道下滑．B、C為圓弧的兩端點，其連線水平，斜面與圓弧軌道在C點相切連接（小物塊經(jīng)過C點時機械能損失不計）．已知圓弧半徑R=1.0m，圓弧對應(yīng)圓心角θ=106°，軌道最低點為O，A點距水平面的高度h=0.8m．設(shè)小物塊首次經(jīng)過C點時為零時刻，在t=0.8s時刻小物塊經(jīng)過D點，已知小物塊與斜面間的滑動摩擦因數(shù)為μ₁=$\frac{1}{3}$，（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8），試求：

（1）小物塊離開A點的水平初速度v₁大��；
（2）若傳送帶的速度為5m/s，小物塊與傳送帶之間摩擦產(chǎn)熱的多少；（已知小物塊與傳送帶之間的滑動摩擦因數(shù)為μ₂=0.5）
（3）小物塊經(jīng)過O點時對軌道的壓力；
（4）斜面上CD間的距離．

Answer 1

分析 （1）小物塊離開A點后做平拋運動，根據(jù)末速度的末速度的方向與豎直下落高度求水平初速度的大��；
（2）小物塊與傳送帶間摩擦產(chǎn)生的熱量等于摩擦力與相對位移的乘積．
（3）根據(jù)牛頓第二定律和動能定理求解軌道對小物塊的支持力；
（4）根據(jù)動能定理求解斜面CD間距離．

解答 解：（1）對小物塊，由A到B做平拋運動，在豎直方向上有：${v}_{y}^{2}=2gh$…①
在B點是有：$tan\frac{θ}{2}=\frac{{v}_{y}}{{v}_{A}}$…②
由①②兩式代入數(shù)據(jù)解得：v_A=3 m/s…③
（2）小物塊在摩擦力作用下做勻加速運動的加速度為：
a=$\frac{f}{m}=\frac{{μ}_{2}mg}{m}={μ}_{2}g=0.5×10m/{s}^{2}=5m/{s}^{2}$
小物塊在傳送帶上運動的時間為：t=$\frac{{v}_{A}}{a}=\frac{3}{5}s=0.6s$
小物塊的位移為：${x}_{1}=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×5×0．{6}^{2}m=0.9m$
傳送帶此時間內(nèi)的位移為：x₂=vt=5×0.6m=3m
所以小物塊因摩擦產(chǎn)生的熱量為：Q=f△x=0.2×1×10×（3-0.9）J=4.2J
（3）對小物塊，由A到O由動能定理得：
mg[h+R（1-sin37°）=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$…④
在O點由牛頓第二定律有：${F}_{N}-mg=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$…⑤
由③④⑤代入數(shù)據(jù)可解得：F_N=43 N
（4）物塊沿斜面上滑時有：mgsin53°+μ₁mgcos53°=ma₁…⑥
解得小物塊上滑時的加速度為：a₁=gisn53°+μgcos53°=10m/s²
v_C=v_B=5 m/s               
小物塊由C上升到最高點歷時為：${t}_{1}=\frac{{v}_{c}}{{a}_{1}}$=0.5s 
則小物塊由斜面最高點回到D點歷時為：t₂=0.8 s-0.5 s=0.3 s
小物塊沿斜面下滑時有：mgsin53°-μmgcos53°=ma₂ 
解得：a2=gsin53°-μgcos53°=6m/s2
故CD距離為：${x}_{CD}=\frac{{v}_{C}}{2}{t}_{1}-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$=0.98m
答：（1）小物塊離開A點時的水平速度大小為3m/s；
（2）若傳送帶的速度為5m/s，小物塊與傳送帶之間摩擦產(chǎn)熱的4.2J；
（3）小物塊經(jīng)過O點時，軌道對它的支持力大小為43N；
（4）斜面上C、D間的距離為0.98m．

點評 本題關(guān)鍵是明確受力情況和運動過程，注意過程的連接點是解題的切入點，結(jié)合動能定理和平拋運動的規(guī)律列式求解，不難．