Question

14．如圖所示，半徑r=0.6m，內(nèi)壁粗糙的半圓形豎直軌道下端B固定在豎直墻壁的上端，O為半圓的圓心，BC為豎直直徑．現(xiàn)將一大小可忽略、質(zhì)量m=0.1kg的小球從水平地面上的A點(diǎn)以v_A=10m/s的初速度斜向上拋出，小球剛好沿水平方向從B點(diǎn)進(jìn)入半圓形軌道，最終恰能到達(dá)最高點(diǎn)C．已知小球沿半圓形軌道運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力做功0.3J，重力加速度g=10m/s²．不計(jì)小球所受的空氣阻力．求：
（1）小球在最高點(diǎn)C的速率v_C；
（2）小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（3）拋射速度v_A與地面間的夾角θ及A、B兩點(diǎn)間的距離s．

Answer 1

分析 （1）在C點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律求解；
（2）對(duì)B到C的運(yùn)動(dòng)過程應(yīng)用機(jī)械能守恒求得在B點(diǎn)的速度，然后由牛頓第二定律求得支持力，即可由牛頓第三定律求得壓力；
（3）根據(jù)從A到B的運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)、速度和分解來分析求解．

解答 解：（1）小球最終恰能到達(dá)最高點(diǎn)C，那么對(duì)小球在C點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律可得：$mg=\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{r}$，所以，${v}_{C}=\sqrt{gr}=\sqrt{6}m/s$；
（2）小球從B到C只有摩擦力、重力做功，由動(dòng)能定理可得：$-2mgr-{W}_{f}=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，所以，${v}_{B}=\sqrt{{{v}_{C}}^{2}+4gr+\frac{2{W}_{f}}{m}}=6m/s$；
對(duì)小球在B點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律可得：小球受到軌道的支持力${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{r}=7N$，方向豎直向上；
那么，由牛頓第三定律可知：小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為7N，方向豎直向下；
（3）小球從A到B，在水平方向做勻速運(yùn)動(dòng)，在豎直方向做加速度為g的勻減速運(yùn)動(dòng)，
所以有：v_B=v_Acosθ，那么，θ=53°，A的速度的豎直分量為v_y=v_Asinθ=8m/s；
所以，小球從A到B的運(yùn)動(dòng)時(shí)間$t=\frac{{v}_{y}}{g}=0.8s$，水平位移x=v_Bt=4.8m，豎直位移$y={v}_{y}t-\frac{1}{2}g{t}^{2}=3.2m$；
所以，$s=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=1.6\sqrt{13}$m；
答：（1）小球在最高點(diǎn)C的速率v_C為$\sqrt{6}m/s$；
（2）小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為7N，方向豎直向下；
（3）拋射速度v_A與地面間的夾角θ為53°，A、B兩點(diǎn)間的距離s為$1.6\sqrt{13}m$．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．