Question

14．如圖所示，半徑r=0.6m，內壁粗糙的半圓形豎直軌道下端B固定在豎直墻壁的上端，O為半圓的圓心，BC為豎直直徑．現將一大小可忽略、質量m=0.1kg的小球從水平地面上的A點以v_A=10m/s的初速度斜向上拋出，小球剛好沿水平方向從B點進入半圓形軌道，最終恰能到達最高點C．已知小球沿半圓形軌道運動過程中克服摩擦力做功0.3J，重力加速度g=10m/s²．不計小球所受的空氣阻力．求：
（1）小球在最高點C的速率v_C；
（2）小球經過B點時對軌道的壓力；
（3）拋射速度v_A與地面間的夾角θ及A、B兩點間的距離s．

Answer 1

分析 （1）在C點應用牛頓第二定律求解；
（2）對B到C的運動過程應用機械能守恒求得在B點的速度，然后由牛頓第二定律求得支持力，即可由牛頓第三定律求得壓力；
（3）根據從A到B的運動，由運動、速度和分解來分析求解．

解答 解：（1）小球最終恰能到達最高點C，那么對小球在C點應用牛頓第二定律可得：$mg=\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{r}$，所以，${v}_{C}=\sqrt{gr}=\sqrt{6}m/s$；
（2）小球從B到C只有摩擦力、重力做功，由動能定理可得：$-2mgr-{W}_{f}=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，所以，${v}_{B}=\sqrt{{{v}_{C}}^{2}+4gr+\frac{2{W}_{f}}{m}}=6m/s$；
對小球在B點應用牛頓第二定律可得：小球受到軌道的支持力${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{r}=7N$，方向豎直向上；
那么，由牛頓第三定律可知：小球經過B點時對軌道的壓力為7N，方向豎直向下；
（3）小球從A到B，在水平方向做勻速運動，在豎直方向做加速度為g的勻減速運動，
所以有：v_B=v_Acosθ，那么，θ=53°，A的速度的豎直分量為v_y=v_Asinθ=8m/s；
所以，小球從A到B的運動時間$t=\frac{{v}_{y}}{g}=0.8s$，水平位移x=v_Bt=4.8m，豎直位移$y={v}_{y}t-\frac{1}{2}g{t}^{2}=3.2m$；
所以，$s=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=1.6\sqrt{13}$m；
答：（1）小球在最高點C的速率v_C為$\sqrt{6}m/s$；
（2）小球經過B點時對軌道的壓力為7N，方向豎直向下；
（3）拋射速度v_A與地面間的夾角θ為53°，A、B兩點間的距離s為$1.6\sqrt{13}m$．

點評 經典力學問題一般先對物體進行受力分析，求得合外力及運動過程做功情況，然后根據牛頓定律、動能定理及幾何關系求解．