Question

11．如圖所示，空間存在水平向右的勻強(qiáng)電場．在豎直平面上建立平面直角坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面的第一象限內(nèi)固定絕緣光滑的半徑為R的$\frac{1}{4}$圓周軌道，軌道的兩端在坐標(biāo)軸上．質(zhì)量為m的帶正電的小球從軌道上端由靜止開始滾下，已知重力為電場力的2倍，求：
（1）在軌道上小球獲得最大速度的位置坐標(biāo)；
（2）在軌道最低點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)小球的支持力．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)小球在軌道上的速度最大時(shí)，設(shè)此時(shí)小球所在的半徑與豎直方向夾角為θ，根據(jù)幾何關(guān)系即可求解；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得知小球在B點(diǎn)對(duì)軌道的壓力．

解答 解：（1）當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到等效最低點(diǎn)時(shí)，速度最大，此時(shí)小球所處的位置與豎直方向的夾角，與電場力和重力的合力在同一直線上，
由三角形的相似性得：
$\frac{x}{y}=\frac{qE}{mg}$，
x²+y²=R²，
所以：位置坐標(biāo)（$\frac{\sqrt{5}}{5}R，\frac{2\sqrt{5}}{5}R$）
（2）由動(dòng)能定理得：$mgR-qER=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
由向心力得：${F}_{N}-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
所以：F_N=2mg．
答：（1）在軌道上小球獲得最大速度的位置坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{5}}{5}R，\frac{2\sqrt{5}}{5}R$）；
（2）在軌道最低點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)小球的支持力為2mg．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)能定理、牛頓第二定律，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵掌握小球脫離B點(diǎn)后在水平方向上和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．