Question

5．在光滑水平面上有A、B兩個(gè)小球，質(zhì)量均為m=1Kg，半徑均為r=5cm，小球A從很遠(yuǎn)處以V₀=2m/s的速度向靜止的B球運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻兩球間開始有F=2N的恒引力作用，再經(jīng)過一段時(shí)間，兩球間距離縮小了4m，此后兩球間開始有F=2N的恒斥力作用，那么：
（1）兩球從開始有引力到開始有斥力經(jīng)過了多少時(shí)間？
（2）為了使兩球不相碰，開始有斥力時(shí)兩球球心間距離應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求得兩球的加速度，由位移公式和位移之和等于4m列式求解時(shí)間．
（2）兩球間開始有斥力后，A球先做勻減速運(yùn)動(dòng)，B球先做勻減速運(yùn)動(dòng)到速度為零，后再反方向加速，兩球速度相等之前，兩球間的距離一直減小，之后就逐漸增大，如果在兩球速度相等之前不相碰，以后就不會(huì)相碰．根據(jù)速度公式和速度相等的關(guān)系列式，求解出兩球開始時(shí)有斥力時(shí)的速度，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)速度位移關(guān)系公式求解即可．

解答 解：（1）設(shè)該段時(shí)間為t，在這段時(shí)間內(nèi)，A、B兩球均做勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律有：
${a_A}={a_B}=\frac{F}{m}=2m/{s^2}$
${S_A}={v_0}t+\frac{1}{2}{a_A}{t^2}$${S_B}=\frac{1}{2}{a_B}{t^2}$
根據(jù)題意：S_A+S_B=4m
聯(lián)立以上方程可得：t=1s（t=-2s不合題意，舍去）
（2）設(shè)兩球開始有斥力作用時(shí)的速度大小分別是v_A、v_B則有：v_B=a_Btv_A=v₀+a_At
A球做勻減速運(yùn)動(dòng)，B球先做勻減速運(yùn)動(dòng)到速度為零后再反方向加速，兩球速度相等之前，兩球間的距離一直減小，之后就逐漸變大，如果在兩球速度相等之前不相碰，以后就不會(huì)相碰．設(shè)這段時(shí)間為t′，共同的速度為v，兩球加速度大小仍相同，有：
$a_A^'=a_B^'=\frac{F}{m}=2m/{s^2}$
v=-v_B+a_B′t′，v=v_A-a_A′t′，
取v_A的方向?yàn)檎�方向，�?lián)立以上方程得：
${v_A}=4m/s{\;}^{\;}{v_B}=2m/s{\;}^{\;}v=1m/s$
${S_A}=\frac{{v_A^2-{v^2}}}{2a_A^'}$${S_B}=\frac{{v_B^2-{v^2}}}{2a_B^'}$
不相碰應(yīng)滿足：S_A+S_B+2r≤S
代入數(shù)據(jù)可得：S≥4.6m．
答：（1）兩球從開始有引力到開始有斥力經(jīng)過了1s．
（2）為了使兩球不相碰，開始有斥力時(shí)兩球球心間距離應(yīng)滿足S≥4.6m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是抓住兩球的相互作用力是恒力，兩球都做勻變速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分析兩球的運(yùn)動(dòng)過程，抓住兩球速度相同時(shí)，相距最遠(yuǎn)是關(guān)鍵．