Question

5．某高速公路的一個(gè)出口路段如圖所示，情景簡(jiǎn)化：轎車從出口A進(jìn)入匝道，先勻減速直線通過下坡路段至B點(diǎn)（通過B點(diǎn)前后速率不變），再勻速率通過水平圓弧路段至C點(diǎn)，最后從C點(diǎn)沿平直路段勻減速到收費(fèi)站D點(diǎn)停下．已知轎車在A點(diǎn)的速度v₀=72km/h，AB長(zhǎng)L₁=75m；BC段為半徑R=20m的四分之一水平圓弧段，輪胎與BC段路面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，最大靜摩擦力可認(rèn)為等于滑動(dòng)摩擦力，CD段為平直路段長(zhǎng)L₂=50m，重力加速度g取l0m/s²．求：
（1）為保證行車安全，車輪不打滑，水平圓弧段BC限速（允許通過的最大速度）是多少；
（2）若保證轎車到能安全通過圓弧段BC，轎車在AB下坡段的最小加速度；
（3）轎車從出口A點(diǎn)到收費(fèi)站D全程的最短時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）轎車在BC段做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由靜摩擦力充當(dāng)向心力，為保證行車安全，車輪不打滑，所需要的向心力不大于最大靜摩擦力，據(jù)此列式求解允許通過的最大速度；
（2）轎車在AB段做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，已知初速度、位移和末速度，根據(jù)速度位移關(guān)系公式求解加速度．
（3）分三段，分別由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解時(shí)間，即可得到總時(shí)間．

解答 解：（1）汽車在BC段做圓周運(yùn)動(dòng)，恰好速度最大時(shí)，最大靜摩擦力提供向心力，有：
$μmg=\frac{m{v}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：v=10m/s　　　
（2）v₀=72km/h=20m/s，AB長(zhǎng)L₁=l50m，v=36km/h=10m/s，對(duì)AB段勻減速直線運(yùn)動(dòng)有：
v^2-${v}_{0}^{2}$=-2aL₁   
 代入數(shù)據(jù)解得：a=1m/s²     
（3）設(shè)AB段時(shí)間為t₁，BC段時(shí)間為t₂，CD段時(shí)間為t₃，全程所用最短時(shí)間為t．
L₁=$\frac{{v}_{0}+v}{2}{t}_{1}$      
$\frac{1}{2}π$R=vt₂
L₂=$\frac{v}{2}{t}_{3}$
t=t₁+t₂+t₃        
解得：t=23.14 s  
答：（1）為保證行車安全，車輪不打滑，水平圓弧段BC限速（允許通過的最大速度）是10m/s；
（2）若保證轎車到能安全通過圓弧段BC，轎車在AB下坡段的最小加速度是1m/s²；
（3）轎車從出口A點(diǎn)到收費(fèi)站D全程的最短時(shí)間是23.14s．

點(diǎn)評(píng) 本題是運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)綜合題，能結(jié)合物體的運(yùn)動(dòng)情況，靈活選擇運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式形式是關(guān)鍵，當(dāng)不涉及加速度而要求時(shí)間時(shí)，可用位移等于平均速度乘以時(shí)間來求．