Question

13．如圖所示，在傾角θ=30°的斜面上固定兩根足夠長的光滑平行金屬導(dǎo)軌PQ、MN，相距為L，導(dǎo)軌處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，磁場方向垂直導(dǎo)軌平面向下．兩根質(zhì)量均為m的金屬棒a、b分別垂直放置在導(dǎo)軌上EF、GH位置，其中a 棒用平行于導(dǎo)軌的細(xì)線跨過光滑定滑輪與重物c 連接．已知EF上方導(dǎo)軌的電阻與到EF的距離x有關(guān)，EF下方的導(dǎo)軌沒有電阻．現(xiàn)在由靜止釋放a、b、c，a、c一起以加速度$\frac{g}{2}$做勻加速運(yùn)動，b棒剛好仍靜止在導(dǎo)軌上．a(chǎn)棒在運(yùn)動過程中始終與導(dǎo)軌垂直，a、b棒電阻不計，與導(dǎo)軌電接觸良好．
（1）求重物c的質(zhì)量；
（2）求EF上方每根導(dǎo)軌的電阻與到EF的距離x之間的關(guān)系；
（3）某時刻t，與a棒連接的細(xì)線突然被拉斷，求細(xì)線被拉斷的瞬間a 棒的加速度大�。�
（4）在第（3）問中，假設(shè)細(xì)線被拉斷的瞬間，a、b棒的重力突然消失．求從釋放a、b、c 到a、b棒的速度穩(wěn)定過程中，a棒克服安培力做的功．

Answer 1

分析 （1）分別對abc三個物體受力分析，根據(jù)牛頓第定律列式聯(lián)立即可求得重物c的質(zhì)量；
（2）對ab組成的回路分析，根據(jù)閉合電路歐姆定律可明確感應(yīng)電動勢的大小，從而確定電阻表達(dá)式；
（3）對a棒分析，明確受力情況，再根據(jù)牛頓第二定律可求得加速度的大小；
（4）分析各導(dǎo)體棒的運(yùn)動過程，再根據(jù)動能定理分析即可求出a棒克服安培力所做的功．

解答 解：（1）設(shè)重物c 的質(zhì)量為M．對a棒，由牛頓定律得T-mgsinθ-BIL=ma①
對重物C，由牛頓定律得Mg-T=Ma②
對b棒，由平衡條件得BIL=mgsinθ③
由①②③式解得 M=3m．
（2）對a、b棒構(gòu)成的回路，由閉合電路歐姆定律得BLat=2rI④
對a棒由運(yùn)動學(xué)公式得 $x=\frac{1}{2}a{t^2}$⑤
由  ③、④、⑤式解得 $r=\frac{{{B^2}{L^2}}}{mg}\sqrt{gx}$
（3）細(xì)線被拉斷的瞬間，a 棒受安培力不變，對a 棒由牛頓定律得ma′=mgsinθ+BIL⑥
由③、⑥式解得：a′=g
（4）細(xì)線被拉斷后，在安培力作用下，b棒向上做加速運(yùn)動，a棒向上做減速運(yùn)動，a棒和b棒上的電流大小總是相等，安培力大小總是相等，加速度大小總是相等，所以相等時間內(nèi)速度變化量大小相等，直至a、b棒構(gòu)成回路的磁通量不變化，即a、b棒構(gòu)成回路的面積不變化，即二者以共同速度做勻速直線運(yùn)動為止．共同速度滿足
v_同=v_b=△v
且v_同=v_a=at-△v⑦
解得${v_同}=\frac{1}{2}at=\frac{1}{4}gt$⑧
從釋放a、b、c 到細(xì)線剛被拉斷的過程中，a 棒克服安培力做的功：${W_1}=BIL•\frac{1}{2}a{t^2}$⑨
從細(xì)線剛被拉斷到a、b 棒的速度穩(wěn)定（即二者以共同速度勻速直線運(yùn)動）的過程中，對a 棒由動能定理可得a 棒克服安培力做的功${W_2}=\frac{1}{2}m{（at）^2}-\frac{1}{2}mv_{{同_{\;}}}^2$ ⑩
由  ③、⑧、⑨、⑩式解得W=W₁+W₂=$\frac{7}{32}m{g^2}{t^2}$
答：（1）重物c的質(zhì)量為3m；
（2）EF上方每根導(dǎo)軌的電阻與到EF的距離x之間的關(guān)系為 $r=\frac{{{B^2}{L^2}}}{mg}\sqrt{gx}$
（3）某時刻t，與a棒連接的細(xì)線突然被拉斷，細(xì)線被拉斷的瞬間a 棒的加速度大小為g；
（4）從釋放a、b、c 到a、b棒的速度穩(wěn)定過程中，a棒克服安培力做的功為$\frac{7}{32}m{g^2}{t^2}$．

點評 本題涉及多個物體的運(yùn)動，要注意從導(dǎo)體棒的平衡展開處理可得各力的大小，明確各導(dǎo)體棒的運(yùn)動過程，再從能量守恒角度分析能量的變化是關(guān)鍵．