Question

11．如圖所示，在B=0.1T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中畫(huà)出邊長(zhǎng)為L(zhǎng)=8cm的正方形EFGH，內(nèi)有一點(diǎn)P，它與EH和HG的距離均為1cm．在P點(diǎn)有一個(gè)發(fā)射正離子的裝置，能夠連續(xù)不斷地向紙面內(nèi)的各個(gè)方向發(fā)射出速率不同的正離子，離子的質(zhì)量為1.0×10^-14kg，電荷電量為1.0×10^-5C，離子的重力不計(jì)，不考慮離子之間的相互作用．（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）
（1）速率為5×10⁶m/s的離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑是多少厘米？
（2）速率在什么范圍內(nèi)的離子不可能射出正方形區(qū)域？
（3）速率為5×10⁶m/s的離子在GF邊上離G的距離多少厘米的范圍內(nèi)可以射出？
（4）離子要從GF邊上射出正方形區(qū)域，速度至少應(yīng)有多大？

Answer 1

分析 離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，應(yīng)用牛頓第二定律求出離子的軌道半徑，然后分析答題．

解答 解：（1）離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$，
代入數(shù)據(jù)解得：r₁=0.05m=5cm；
（2）P點(diǎn)與EH和HG的距離均為1cm，離子軌道半徑r＜$\frac{1cm}{2}$=0.5cm的離子不可能射出正方形區(qū)域，由牛頓第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v=5×10⁵m/s，速度v＜5×10⁵m/s離子不能射出磁場(chǎng)區(qū)域；
（3）速度大小為v₁=5×10⁶m/s的粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑：r₁=5cm．
當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)沿軌跡Ⅱ與HG邊相切于B點(diǎn)時(shí)，粒子將從GF邊A點(diǎn)出射，為最低出射點(diǎn)．由幾何關(guān)系得：
r₁²=（r₁-d）²+PI²，
解得：PI=3cm，
所以：BG=L-d-PI=4cm，O₁A=BG=4cm，
在三角形O₁AC中：r₁²=（r₁-CG）²+O₁A²，
解得：CG=2cm，
則出射點(diǎn)C在GF邊上離G的距離為：CG=2cm，
當(dāng)粒子沿軌跡Ⅲ與GF邊相切于D點(diǎn)時(shí)，
粒子將從GF邊D點(diǎn)出射，為最高出射點(diǎn)．
在三角形O₂JP中，
由幾何關(guān)系得：r₁²=（L-r₁-d）²+PJ²，
解得：PJ=$\sqrt{21}$cm，
則出射點(diǎn)DG距下邊界高：DG=PJ+d=$\sqrt{21}$+1cm，
綜上，出射點(diǎn)距B的距離x滿足：2cm≤x≤（1+$\sqrt{21}$）cm．
（4）離子運(yùn)動(dòng)軌跡與HG相切又與GF相切是所有射出GF的軌跡中半徑最小的，
由幾何知識(shí)可知，該軌道半徑：r=（8-$\sqrt{14}$）×10^-2m，
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，代入數(shù)據(jù)解得：v=（8-$\sqrt{14}$）×10⁶m/s；
答：（1）速率為5×10⁶m/s的離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑是5厘米．
（2）速率v＜5×10⁵m/s的離子不可能射出正方形區(qū)域．
（3）速率為5×10⁶m/s的離子在GF邊上離G的距離的范圍為：2cm≤x≤（1+$\sqrt{21}$）cm的離子可以射出．
（4）離子要從GF邊上射出正方形區(qū)域，速度至少為（8-$\sqrt{14}$）×10⁶m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程、作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是正確解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用牛頓第二定律、幾何知識(shí)即可正確解題．