Question

13．在豎直平面內(nèi)建立一平面直角坐標(biāo)系xoy，x軸沿水平方向，如圖甲所示．坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)有一正交的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場，電場方向豎直向上，場強(qiáng)為E₁，磁場方向垂直紙面，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀=$\frac{3+\sqrt{3}}{10}$T，方向按圖乙所示規(guī)律變化（以垂直紙面向外的磁場方向?yàn)檎�向），第二象限�?nèi)有一水平向右的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)E₂=2E₁．一個(gè)比荷$\frac{q}{m}$=10²C/kg的帶正電的粒子（可視為質(zhì)點(diǎn)）以v_.0=4m/s的速度在-x上的A點(diǎn)豎直向上拋出，恰能以v₁=8m/s速度從+y上的C點(diǎn)水平進(jìn)入第一象限．取粒子剛進(jìn)入第一象限時(shí)t=0．（取g=10m/s²）試求：

（1）AC間電勢差U_AC及E₂的大��；
（2）通過計(jì)算判斷帶電粒子進(jìn)入第一象限后做何種運(yùn)動(dòng)？
（3）為確保粒子不再越過OC進(jìn)入第二象限，則交變磁場周期最大值T_m為多少？

Answer 1

分析 （1）將粒子在第二象限內(nèi)的運(yùn)動(dòng)分解為水平方向和豎直方向，得出兩個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律求出帶電微粒運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的縱坐標(biāo)值h及電場強(qiáng)度E₂，從而可求得AC間電勢差；
（2）根據(jù)重力與電場力的關(guān)系，分析粒子的運(yùn)動(dòng)情況．
（3）當(dāng)交變磁場周期取最大值而粒子不再越過y軸時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系求出T_m．

解答 解：（1）設(shè)OC高為h，OA長為L，粒子在第二象限運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，則
 在豎直方向：v₀=gt
 在水平方向：L=$\frac{1}{2}$v₁t，v₁=$\frac{q{E}_{2}}{m}$t
又 U_AC=E₂L
代入數(shù)據(jù)可得：h=0.8m，L=1.6m，E₂=0.2V/m，
得：U_AC=0.32V
（2）粒子在第一象限運(yùn)動(dòng)時(shí)受重力mg、電場力E₁q和洛倫茲力作用，因mg-qE₁=0，故粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)．
（3）設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)圓軌道半徑為R，周期為T．
則 qv₁B₀=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
可得R=$\frac{m{v}_{1}}{q{B}_{0}}$
勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期 T=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$，代入B₀得：T=$\frac{π（3-\sqrt{3}）}{30}$s                                 
當(dāng)交變磁場周期取最大值而粒子不進(jìn)入第一象限時(shí)可作如圖運(yùn)動(dòng)情形：
由圖可知T₀=$\frac{5}{6}$T=$\frac{（3-\sqrt{3}）π}{36}$s
答：（1）AC間電勢差U_AC是0.32V，E₂的大小為0.2V/m；
（2）通過計(jì)算判斷帶電粒子進(jìn)入第一象限后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)．
（3）為確保粒子不再越過OC進(jìn)入第二象限，則交變磁場周期最大值T_m為$\frac{（3-\sqrt{3}）π}{36}$s．

點(diǎn)評 本題中質(zhì)點(diǎn)在復(fù)合場運(yùn)動(dòng)，分析受力情況，確定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況是解題的基礎(chǔ)．結(jié)合粒子運(yùn)動(dòng)的周期性以及臨界狀態(tài)，運(yùn)用數(shù)學(xué)幾何知識綜合求解．