Question

19．現(xiàn)在我們要研究有關(guān)電場強(qiáng)弱的問題：
（1）電場強(qiáng)度：我們知道，磁體周圍存在磁場；同樣，帶電體周圍存在電場，我們用電場強(qiáng)度E表示電場的強(qiáng)弱．在電場中各點(diǎn)E 的大小一般是不同的，E越大，表示該點(diǎn)電場越強(qiáng)．不同點(diǎn)E的方向也一般不同．
若一個小球帶的電量為q，則與其距離為r的A點(diǎn)處的電場強(qiáng)度大小為E=k$\frac{q}{{r}^{2}}$（k為常數(shù)），這說明距離帶電體越遠(yuǎn)，電場越弱．
（2）環(huán)形帶電體的電場強(qiáng)度：
如圖所示，有一個帶電均勻的圓環(huán)，已知圓環(huán)的半徑為 R，所帶的總電量為Q．過圓環(huán)中心O點(diǎn)作一垂直于圓環(huán)平面的直線，那么在此直線上與環(huán)心相距為x的P點(diǎn)處的電場強(qiáng)度E_P的表達(dá)式是怎樣的呢？
某同學(xué)首先把圃環(huán)均勻分割為許多等份，每一等份的圓弧長度為△l，則每一等份的電量為$\frac{Q•△l}{2πR}$；每一等份可以看作一個帶電小球，則每一等份在P點(diǎn)所產(chǎn)生的電場強(qiáng)度的大小為E₁=$\frac{kQ•△l}{2πR（{R}^{2}+{x}^{2}）}$；E₁沿著OP 方向的分量E_1x=E₁cos∠E₁PE_1x=$\frac{kQx•△l}{2πR（{R}^{2}+{x}^{2}）^{\frac{3}{2}}}$．E_P的大小等于圓環(huán)上所有等份的E_1x大小之和，即E_P=$\frac{kxQ}{（{R}^{2}+{x}^{2}）^{\frac{3}{2}}}$．

Answer 1

分析 （1）由電場強(qiáng)度大小的公式直接判斷；
（2）求出圓環(huán)的周長，再計算△l的圓弧長的電量；
利用勾股定理得出點(diǎn)P的距離的平方，把△l的圓弧長的電量代入電場強(qiáng)度公式E=$\frac{kq}{{r}^{2}}$，可得P點(diǎn)的產(chǎn)生的電場強(qiáng)度的大小；
利用三角形余弦公式計算出E₁沿著OP方向的分量E_1x；最后E_P的大小是E_1x×$\frac{2πR}{△l}$，從而即可一一求解．

解答 解：（1）根據(jù)題意可知，電場強(qiáng)度大小公式E=$\frac{kq}{{r}^{2}}$，可知，當(dāng)r增大時，E變小，所以距離帶電體越遠(yuǎn)的，電場強(qiáng)度越弱；
（2）半徑為R的圓環(huán)的周長是2πR，圓弧長度為△l弧上的電量為Q′=$\frac{Q}{2πR}×△l$=$\frac{Q•△l}{2πR}$，
由股定理可知，△l處到點(diǎn)P的距離的平方，r²=R²+x²，
因此P點(diǎn)所產(chǎn)生電場強(qiáng)度的大小為E₁=$\frac{kq}{{r}^{2}}$=k×$\frac{\frac{Q•△l}{2πR}}{{R}^{2}+{x}^{2}}$=$\frac{kQ•△l}{2πR（{R}^{2}+{x}^{2}）}$，
根據(jù)cos∠E₁PE_1x=$\frac{x}{（{R}^{2}+{x}^{2}）^{\frac{1}{2}}}$
所以E₁沿著OP方向的分量E_1x=E₁cos∠E₁PE_1x=$\frac{kQx•△l}{2πR（{R}^{2}+{x}^{2}）^{\frac{3}{2}}}$
那么E_P的大小是E_P=E_1x×$\frac{2πR}{△l}$=$\frac{kQx•△l}{2πR（{R}^{2}+{x}^{2}）^{\frac{3}{2}}}$×$\frac{2πR}{△l}$=$\frac{kxQ}{（{R}^{2}+{x}^{2}）^{\frac{3}{2}}}$
故答案為：（1）弱；（2）$\frac{Q•△l}{2πR}$，$\frac{kQ•△l}{2πR（{R}^{2}+{x}^{2}）}$，$\frac{kQx•△l}{2πR（{R}^{2}+{x}^{2}）^{\frac{3}{2}}}$，$\frac{kxQ}{（{R}^{2}+{x}^{2}）^{\frac{3}{2}}}$．

點(diǎn)評 考查點(diǎn)電荷電場強(qiáng)度的公式內(nèi)容，掌握矢量的合成與分解，理解三角知識的應(yīng)用，注意正確的數(shù)學(xué)公式運(yùn)算是解題的難點(diǎn)．