Question

20．如圖所示，dc與ef是無電阻的導(dǎo)軌，相距為l，固定在水平面內(nèi)，同時存在圖示方向的勻強(qiáng)磁場，de端接有一個阻值為R的定值電阻，cf端接有一個電容為C的電容器，距d為x₀處的P點有個小缺口，兩導(dǎo)軌P點左側(cè)無摩擦，右側(cè)的動摩擦因數(shù)為μ，距P不遠(yuǎn)處導(dǎo)軌中央O點有一個質(zhì)量為m的粘性物體，將金屬輕桿ab（不計質(zhì)量，沒有電阻）緊挨de放置，在水平拉力F作用下向右運動，拉力F與桿往右運動的位移x成正比，即：F=kx，當(dāng)桿ab到達(dá)P點時的速度為v₀，試求：（不考慮感應(yīng)電流的磁場，其中“F=kx”的k=$\frac{{mv}_{0}}{{CRx}_{0}}$）
（1）從桿開始運動至到達(dá)P點F所做的功和電阻R上放出的熱量；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；
（3）越過P點后桿粘上物體（物體離開水平面）成為一體，開讓ab桿維持速度v₀勻速運動一段足夠長的時間后撤去外力，那么撤去外力后桿運動多長時間才能停止運動？撤去外力后桿運動了多長的距離？

Answer 1

分析 （1）拉力F與位移x成正比，可用平均力與位移的乘積求F所做的功．電阻R上放出的熱量等于F所做的功．
（2）因為桿無質(zhì)量，所以拉力與安培力大小相等．由此求B的大�。�
（3）越過P后，C兩端的電壓 U=Blv₀．所帶電量 q=CBlv₀．撤去F后，由于存在摩擦力，所以桿會減速運動，運用動量定理分析速度與時間的關(guān)系，確定桿的運動性質(zhì)，再求解時間和位移．

解答 解：（1）由于拉力F與位移x成正比，所以可用平均力求拉力做功，即為：
W=$\frac{0+{F}_{0}}{2}{x}_{0}$=$\frac{k{x}_{0}}{2}{x}_{0}$=$\frac{m{v}_{0}{x}_{0}}{2CR}$
R上放出的熱量等于F所做的功，即為：
Q=$\frac{m{v}_{0}{x}_{0}}{2CR}$
（2）因為桿無質(zhì)量，所以拉力必然時刻等于安培力．則有：
F=kx₀=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_{0}}{R}$
解得：B=$\sqrt{\frac{k{x}_{0}R}{{l}^{2}{v}_{0}}}$=$\frac{1}{l}$$\sqrt{\frac{m}{C}}$
（3）越過P后，C兩端的電壓為：U=Blv₀．
所帶電量為：q₀=CU=CBlv₀．
撤去外力F后，由于存在摩擦力，所以桿會減速運動，而電容器放電，取向右為正方向，根據(jù)動量定理（設(shè)t時刻的速度為v，此時電容器所帶電荷量為 q=CBlv）得：
（-μmg+Bli）△t=m△v
兩邊求和得：-μmg$\sum_{\;}^{\;}$△t+Bl$\sum_{\;}^{\;}$i△t=m$\sum_{\;}^{\;}$△v
即得：-μmgt+Bl（q₀-q）=m（v-v₀）
-μmgt+CB²l²（v₀-v）=-m（v₀-v）
可得：v=v₀-$\frac{μmg}{C{B}^{2}{l}^{2}+m}$t
可見，桿做加速度為：a=$\frac{μmg}{C{B}^{2}{l}^{2}+m}$=$\frac{1}{2}μg$的勻減速運動，當(dāng)v=0時停止運動，所以撤去外力后桿運動時間為：
t=$\frac{2{v}_{0}}{μg}$
位移為：x=$\frac{{v}_{0}t}{2}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{μg}$
答：（1）從桿開始運動至到達(dá)P點F所做的功和電阻R上放出的熱量均為$\frac{m{v}_{0}{x}_{0}}{2CR}$；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{1}{l}$$\sqrt{\frac{m}{C}}$；
（3）撤去外力后桿運動時間是$\frac{2{v}_{0}}{μg}$，位移是$\frac{{v}_{0}^{2}}{μg}$．

點評 本題電磁感應(yīng)與電路的綜合，除掌握電磁感應(yīng)與力學(xué)的基本規(guī)律外，關(guān)鍵要是運用動量定理及電容器的放電電流公式 i=$\frac{△q}{△t}$，分析v與t的關(guān)系，這是常用積分法，要學(xué)會運用．