Question

3．如圖，環(huán)形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，磁場邊界為半徑為a和2a 的兩個同心圓．在小圓上的S處有一粒子源，向磁場在紙面內(nèi)180⁰范圍內(nèi)發(fā)射相同的帶電粒子，粒子帶電量為-q，質(zhì)量為m，速率均為V₀，不計粒子重力．設(shè)粒子從進(jìn)入磁場到飛出磁場的時間為t，則（　�。�

• A． 若V₀=$\frac{qBa}{m}$，t最小為$\frac{πm}{3qB}$
• B． 若V₀=$\frac{qBa}{m}$，t最大為$\frac{4mπ}{3qB}$
• C． 若V₀=$\frac{2qBa}{m}$，t一定大于$\frac{πm}{6qB}$
• D． 若V₀=$\frac{2qBa}{m}$，t一定小于$\frac{πm}{2qB}$

Answer 1

分析 根據(jù)速度大小，利用洛倫茲力提供向心力求出半徑公式，再結(jié)合幾何關(guān)系，畫出粒子軌跡過程圖，利用周期公式結(jié)合粒子轉(zhuǎn)過的圓心角，即可分析粒子在磁場中運動的時間t．

解答 解：A、根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：qV₀B=m$\frac{{V}_{0}^{2}}{R}$，當(dāng)V₀=$\frac{qBa}{m}$時，聯(lián)立可得粒子在磁場中運動的半徑：R=a，當(dāng)粒子在磁場中運動的軌跡所對弦長最短時粒子在磁場中運動的時間最短，畫出軌跡過程圖，如圖所示，

根據(jù)幾何關(guān)系可知：θ=60°，所以粒子在磁場中運動的最短時間：t_min=$\frac{60°}{360°}$•$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πm}{3qB}$，故A正確；
B、粒子在磁場中運動的軌跡與外邊界相切時粒子在磁場中運動的時間最長，軌跡如圖所示，

根據(jù)幾何關(guān)系可知粒子轉(zhuǎn)過的圓心角：θ₁=240°，粒子在磁場中運動的周期：T=$\frac{2πR}{{V}_{0}}$=$\frac{2πm}{qB}$
所以粒子在磁場中運動的最長時間：t_max=$\frac{240°}{360°}•\frac{2πm}{qB}$=$\frac{4mπ}{3qB}$，故B正確；
C、根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：qV₀B=m$\frac{{V}_{0}^{2}}{R}$，當(dāng)V₀=$\frac{2qBa}{m}$時，聯(lián)立可得粒子在磁場中運動的半徑：R=2a，
分析可知粒子在磁場中運動的軌跡所對弦長最短時，運動的時間最短，畫出粒子運動軌跡的示意圖，設(shè)粒子轉(zhuǎn)過的圓心角為θ₂，如圖所示

根據(jù)余弦定理可得：a²=（2a）²+（2a）²-2•（2a）•（2a）cosθ₂
解得：cosθ₂=$\frac{7}{8}$，θ₂≈29°
所以粒子在磁場中運動的最短時間t_min=$\frac{29°}{360°}$•$\frac{2πm}{qB}$＜$\frac{30°}{360°}$•$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πm}{6qB}$，所以粒子在磁場中運動的時間t可能小于$\frac{πm}{6qB}$，故C錯誤；
D、當(dāng)R=2a時，畫出粒子在磁場中運動的時間最長時的粒子軌跡過程圖如圖所示，設(shè)粒子轉(zhuǎn)過的圓心角為θ₃，

根據(jù)余弦定理可得：（2a）²=a²+（2a）²-2•a•（2a）cosθ₃
解得：cosθ₃=$\frac{1}{4}$，θ₃≈75.5°
所以粒子在磁場中運動的最長時間：t_max=$\frac{75.5°}{360°}$•$\frac{2πm}{qB}$＜$\frac{90°}{360°}$•$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πm}{2qB}$，所以粒子在磁場中運動的時間t一定小于$\frac{πm}{2qB}$，故D正確．
故選：ABD．

點評 本題考查帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的運動，解題關(guān)鍵是要畫出粒子軌跡過程圖，明確解題思路，即：洛倫茲力提供向心力結(jié)合幾何關(guān)系，利用周期公式結(jié)合粒子轉(zhuǎn)過的圓心角求解粒子運動時間，對數(shù)學(xué)平面幾何能力有一定要求，難度較大．