Question

3．如圖，環(huán)形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，磁場(chǎng)邊界為半徑為a和2a 的兩個(gè)同心圓．在小圓上的S處有一粒子源，向磁場(chǎng)在紙面內(nèi)180⁰范圍內(nèi)發(fā)射相同的帶電粒子，粒子帶電量為-q，質(zhì)量為m，速率均為V₀，不計(jì)粒子重力．設(shè)粒子從進(jìn)入磁場(chǎng)到飛出磁場(chǎng)的時(shí)間為t，則（　�。�

• A． 若V₀=$\frac{qBa}{m}$，t最小為$\frac{πm}{3qB}$
• B． 若V₀=$\frac{qBa}{m}$，t最大為$\frac{4mπ}{3qB}$
• C． 若V₀=$\frac{2qBa}{m}$，t一定大于$\frac{πm}{6qB}$
• D． 若V₀=$\frac{2qBa}{m}$，t一定小于$\frac{πm}{2qB}$

Answer 1

分析 根據(jù)速度大小，利用洛倫茲力提供向心力求出半徑公式，再結(jié)合幾何關(guān)系，畫出粒子軌跡過(guò)程圖，利用周期公式結(jié)合粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角，即可分析粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t．

解答 解：A、根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：qV₀B=m$\frac{{V}_{0}^{2}}{R}$，當(dāng)V₀=$\frac{qBa}{m}$時(shí)，聯(lián)立可得粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑：R=a，當(dāng)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡所對(duì)弦長(zhǎng)最短時(shí)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，畫出軌跡過(guò)程圖，如圖所示，

根據(jù)幾何關(guān)系可知：θ=60°，所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間：t_min=$\frac{60°}{360°}$•$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πm}{3qB}$，故A正確；
B、粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與外邊界相切時(shí)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，軌跡如圖所示，

根據(jù)幾何關(guān)系可知粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角：θ₁=240°，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πR}{{V}_{0}}$=$\frac{2πm}{qB}$
所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間：t_max=$\frac{240°}{360°}•\frac{2πm}{qB}$=$\frac{4mπ}{3qB}$，故B正確；
C、根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：qV₀B=m$\frac{{V}_{0}^{2}}{R}$，當(dāng)V₀=$\frac{2qBa}{m}$時(shí)，聯(lián)立可得粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑：R=2a，
分析可知粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡所對(duì)弦長(zhǎng)最短時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的示意圖，設(shè)粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為θ₂，如圖所示

根據(jù)余弦定理可得：a²=（2a）²+（2a）²-2•（2a）•（2a）cosθ₂
解得：cosθ₂=$\frac{7}{8}$，θ₂≈29°
所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間t_min=$\frac{29°}{360°}$•$\frac{2πm}{qB}$＜$\frac{30°}{360°}$•$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πm}{6qB}$，所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t可能小于$\frac{πm}{6qB}$，故C錯(cuò)誤；
D、當(dāng)R=2a時(shí)，畫出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)時(shí)的粒子軌跡過(guò)程圖如圖所示，設(shè)粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為θ₃，

根據(jù)余弦定理可得：（2a）²=a²+（2a）²-2•a•（2a）cosθ₃
解得：cosθ₃=$\frac{1}{4}$，θ₃≈75.5°
所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間：t_max=$\frac{75.5°}{360°}$•$\frac{2πm}{qB}$＜$\frac{90°}{360°}$•$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πm}{2qB}$，所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t一定小于$\frac{πm}{2qB}$，故D正確．
故選：ABD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，解題關(guān)鍵是要畫出粒子軌跡過(guò)程圖，明確解題思路，即：洛倫茲力提供向心力結(jié)合幾何關(guān)系，利用周期公式結(jié)合粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角求解粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間，對(duì)數(shù)學(xué)平面幾何能力有一定要求，難度較大．