Question

8．某種加速器的理想模型如圖1所示：兩塊相距很近的平行小極板中間各開(kāi)有一小孔a、b，兩極板間電壓u_ab的變化圖象如圖2所示，電壓的最大值為U₀、周期為T(mén)₀，在兩極板外有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．若將一質(zhì)量為m₀、電荷量為q的帶正電的粒子從板內(nèi)a孔處?kù)o止釋放，經(jīng)電場(chǎng)加速后進(jìn)入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間T₀后恰能再次從a 孔進(jìn)入電場(chǎng)加速．現(xiàn)該粒子的質(zhì)量增加了$\frac{{m}_{0}}{100}$．（粒子在兩極板間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間不計(jì)，兩極板外無(wú)電場(chǎng)，不考慮粒子所受的重力）．

（1）若在t=0時(shí)刻將該粒子從板內(nèi)a孔處?kù)o止釋放，求其第二次加速后從b孔射出時(shí)的動(dòng)能；
（2）若將電壓u_ab的頻率提高為原來(lái)的2倍，該粒子應(yīng)何時(shí)由板內(nèi)a孔處?kù)o止開(kāi)始加速，才能經(jīng)多次加速后獲得最大動(dòng)能？最大動(dòng)能是多少？

Answer 1

分析 （1）求第二次加速后從b孔射出時(shí)的動(dòng)能只需知道加速時(shí)所對(duì)應(yīng)的電壓，故圖2求電壓即可；
（2）該粒子的質(zhì)量增加了$\frac{1}{100}$m₀，周期增加了△T=$\frac{1}{100}$T₀（圖象中為1），電壓改變?yōu)?\frac{2}{25}$U₀（圖象中為4），所以圖象中電壓分別為50，46，42，38，…10，6，2，共13個(gè)．

解答 解：（1）質(zhì)量為m₀的粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)
根據(jù)洛倫茲力提供向心力：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，T₀=$\frac{2πr}{v}$則T₀=$\frac{2π{m}_{0}}{qB}$
當(dāng)粒子的質(zhì)量增加了$\frac{1}{100}$m₀，其周期增加△T=$\frac{1}{100}$T₀
根據(jù)題圖2可知，粒子第一次的加速電壓u₁=U₀
經(jīng)過(guò)$\frac{101}{100}$T₀第2次加速，第2次加速電壓u₂，如圖2
在三角形中，$\frac{{u}_{2}}{{U}_{0}}$=$\frac{\frac{{T}_{0}}{4}-\frac{{T}_{0}}{100}}{\frac{{T}_{0}}{4}}$=$\frac{24}{25}$，
所以粒子第2次的加速電壓：u₂=$\frac{24}{25}$U₀
粒子射出時(shí)的動(dòng)能：E_k2=qu₁+qu₂
解得：E_k2=$\frac{49}{25}$qU₀
（2）將電壓u_ab的頻率提高為原來(lái)的2倍，則現(xiàn)在的周期：T=$\frac{1}{2}$T₀，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期不變；
在u_ab＞0時(shí)，粒子被加速，則最多連續(xù)被加速的次數(shù)：N=$\frac{\frac{{T}_{0}}{4}}{△T}$=25
分析可知：粒子被連續(xù)加速次數(shù)最多，且加速電壓含u=U₀時(shí)，將獲得最大動(dòng)能
設(shè)某時(shí)刻t，u=U₀時(shí)被加速，此時(shí)刻可表示為$\frac{{T}_{0}}{2}•N$，
靜止開(kāi)始加速的時(shí)刻：t₁=$\frac{{T}_{0}}{2}•N$-n•$\frac{101{T}_{0}}{100}$，其中n=12，
將n=12代入得：t₁=$\frac{{T}_{0}}{2}•N$-$\frac{1212{T}_{0}}{100}$，
因?yàn)椋簍₁＜$\frac{{T}_{0}}{2}$，所以只能取N=25，解得：t₁=$\frac{19}{50}$T₀，
故粒子應(yīng)該在$\frac{19}{50}$T₀時(shí)刻由板內(nèi)a孔處?kù)o止開(kāi)始加速
由于電壓的周期為$\frac{1}{2}$T₀，所以t=$\frac{{T}_{0}}{2}•n$+$\frac{19}{25}{T}_{0}$（n=0，1，2，3…）
如下圖，設(shè)T₀=100，U₀=50，可以得到在四分之一周期內(nèi)的電壓隨時(shí)間變化的圖象

從圖象可以看出，時(shí)間每改變△T=$\frac{1}{100}$T₀（圖象中為1），電壓改變?yōu)?\frac{2}{25}$U₀（圖象中為4），
所以圖象中電壓分別為50，46，42，38…10，6，2，共13個(gè)，加上與圖象對(duì)稱(chēng)的另一面的12個(gè)，共25個(gè)，
題中表示電壓分別為：$\frac{23}{25}$U₀，$\frac{21}{25}$U₀，$\frac{19}{25}$U₀…$\frac{5}{25}$U₀，$\frac{3}{25}$U₀，$\frac{1}{25}$U₀，加上另一面的12個(gè)，還有一個(gè)峰值U₀，
根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，可求出加速電壓做的總功，即動(dòng)能的最大值，
故最大動(dòng)能：E_km=2×（$\frac{1}{25}$+$\frac{3}{25}$+…+$\frac{23}{25}$）qU₀+qU₀=$\frac{313}{25}$qU₀
答：（1）第二次加速后從b孔射出時(shí)的動(dòng)能為$\frac{49}{25}$qU₀；
（2）若將電壓u_ab的頻率提高為原來(lái)的2倍，該粒子應(yīng)在$\frac{19}{50}$T₀由板內(nèi)a孔處?kù)o止開(kāi)始加速，能經(jīng)25次加速后獲得最大動(dòng)能，最大動(dòng)能為$\frac{313}{25}$qU₀．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)和在電場(chǎng)中的加速運(yùn)動(dòng)以及用數(shù)學(xué)解決物理問(wèn)題的能力．關(guān)鍵是要讀懂題，能判斷出怎樣才能得到最大動(dòng)能即何時(shí)加速，加速電壓多大，難度較大．