Question

17．在光滑的水平面內建立如圖所示的直角坐標系，長為L的光滑細桿AB的兩個端點A、B分別約束在x軸和y軸上運動，現讓A沿x軸正方向以速度v₀勻速運動，已知P點為桿的中點，桿AB與x軸的夾角為β．關于P點的運動軌跡和P點的運動速度大小v表達式正確的是（　�。�

• A． P點的運動軌跡是圓的一部分
• B． P點的運動軌跡是橢圓的一部分
• C． P點的運動速度大小v=v₀tanβ
• D． P點的運動速度大小$v=\frac{v_0}{2sinβ}$

Answer 1

分析 設P點坐標為（x，y），則A、B點的坐標分別為（0，2x）、（0，2y），AB長度一定，設為L，列式求解出x與y的關系式，即為P點的軌跡方程；P點的軌跡是圓，速度是切線方向，畫出軌跡圖，結合幾何關系得到P點速度方向與桿的方向的夾角，P點的速度沿著桿方向的分速度與A點速度沿著桿方向的分速度相等．

解答 解：A、B、設P點坐標為（x，y），則A、B點的坐標分別為（2x，0）、（0，2y），AB長度一定，設為L，根據勾股定理，有：
（2x）²+（2y）²=L²
解得：
x²+y²=（$\frac{L}{2}$）²
故P點的運動軌跡是圓，半徑為$\frac{L}{2}$；故A正確，B錯誤；
C、D、畫出運動軌跡，如圖：

速度v與桿的夾角α=90°-2β；
由于桿子不可以伸長，故P點的速度沿著桿方向的分速度與A點速度沿著桿方向的分速度相等，
故：
vcosβ=v₀cosβ
vcos（90°-2β）=v₀cosβ
解得：
$v=\frac{v_0}{2sinβ}$，故D正確，C錯誤；
故選：AD．

點評 本題關鍵是采用運動的合成與分解的方法進行研究，找出點P的運動方向是關鍵，同時掌握圓的方程．