Question

15．如圖所示，固定的光滑圓弧軌道ACB的半徑為0.8m，A點(diǎn)與圓心O在同一水平線上，圓弧軌道底端B點(diǎn)與圓心在同一豎直線上．C點(diǎn)離B點(diǎn)的豎直高度為0.2m．物塊從軌道上的A點(diǎn)由靜止釋放，滑過(guò)B點(diǎn)后進(jìn)入足夠長(zhǎng)的水平傳送帶，傳送帶由電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)按圖示方向運(yùn)轉(zhuǎn)，不計(jì)物塊通過(guò)軌道與傳送帶交接處的動(dòng)能損失，物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.1，g取10m/s²．
（1）求物塊從A點(diǎn)下滑到B點(diǎn)時(shí)速度的大��；
（2）若物塊從A點(diǎn)下滑到傳送帶上后．又恰能返回到C點(diǎn)，求物塊在傳送帶上第一次往返所用的時(shí)間．
（3）設(shè)物體質(zhì)量為1kg，第一次往返過(guò)程中摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能是多少？

Answer 1

分析 （1）由機(jī)械能守恒可求得物體到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度；
（2）物體以此速度在傳送帶上減速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可求得加速度；則由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求得減速到零的時(shí)間和位移；物體再反向做加速運(yùn)動(dòng)，由機(jī)械能守恒可求得返回到B點(diǎn)的速度；根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可判斷出物體反向加速的運(yùn)動(dòng)情況，從而求得傳送帶的速度；分段求出物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，則可求得總時(shí)間．
（3）由位移公式求出往返過(guò)程中，物體與傳送帶間的相對(duì)位移，即可得到內(nèi)能．

解答 解：（1）物塊從A點(diǎn)下滑到B點(diǎn)的過(guò)程，取B所在水平面為參考平面，由機(jī)械能守恒定律得
  mgr=$\frac{1}{2}$$m{v}_{B}^{2}$，解得 v_B=$\sqrt{2gr}$=4m/s；
（2）物塊先在傳送帶上向右作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為 a=$\frac{μmg}{m}$=μg=1m/s²；
運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t₁=$\frac{{v}_{B}}{a}$=$\frac{4}{1}$=4s，
通過(guò)的位移為 x₁=$\frac{0+{v}_{B}}{2}{t}_{1}$=$\frac{4}{2}×4$m=8m；
物塊再在傳送帶上向左作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，其末速度設(shè)為v₁．
從B到C的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得 mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
得 v₁=$\sqrt{2gh}$=2m/s，
則物體向左勻加速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t₂=$\frac{{v}_{1}}{a}$=2s，
通過(guò)的位移為 x₂=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2a}$=2m＜x₁
然后再作勻速運(yùn)動(dòng)，故傳送帶的速度應(yīng)為2m/s；
勻速運(yùn)動(dòng)通過(guò)的位移為 x₃=x₁-x₂=8-2=6m，勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t₃=$\frac{{x}_{3}}{{v}_{1}}$=$\frac{6}{2}$=3s，
所以物塊在傳送帶上第一次往返所用的時(shí)間為 t=t₁+t₂+t₃=4+2+3=9s
（3）物塊向右運(yùn)動(dòng)時(shí)與傳送帶間的相對(duì)位移大小為△x₁=x₁+v₁t₁=16m
物塊向右運(yùn)動(dòng)時(shí)與傳送帶間的相對(duì)位移大小為△x₂=v₁t₂-x₂=2m
所以第一次往返過(guò)程中摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能是 Q=μmg（△x₁+△x₂）=18J
答：
（1）物塊從A點(diǎn)下滑到B點(diǎn)時(shí)速度的大小是4m/s；
（2）物塊在傳送帶上第一次往返所用的時(shí)間是9s．
（3）設(shè)物體質(zhì)量為1kg，第一次往返過(guò)程中摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能是18J．

點(diǎn)評(píng) 本題難點(diǎn)在于對(duì)過(guò)程的分析，要弄清楚物體在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程，特別是最后一段的先加速再勻速過(guò)程．要注意摩擦生熱應(yīng)根據(jù)相對(duì)位移求．