Question

6．如圖所示，帶有$\frac{1}{4}$光滑圓弧的小車A的半徑為R，靜止在光滑水平面上．滑塊C置于木板B的右端，A、B、C的質量均為m，A、B底面厚度相同．現B、C以相同的速度向右勻速運動，B與A碰后即粘連在一起，C恰好能沿A的圓弧軌道滑到與圓心等高處，求：
（1）B、C一起勻速運動的速度為多少
（2）滑塊C返回到A的底端時AB整體和C的速度為多少
（3）滑塊C返回到A的底端時C對A的壓力為多少．

Answer 1

分析 （1）AB組成的系統(tǒng)水平方向不受力，滿足動量守恒，可求得滑塊B與A碰撞后的速度時速度，再以ABC為系統(tǒng)水平方向動量守恒，求得C到達A的最高點時ABC的速度，再根據能量守恒求得B、C一起勻速運動的速度；
（2）根據動量守恒定律與機械能守恒即可求出滑塊C返回到A的底端時AB整體和C的速度為多少
（3）C與AB都需要運動，但C相對于A向左運動，先求出相對速度，然后由牛頓第二定律即可求出．

解答 解：（1）設BC的初速度為v₀，AB相碰過程中動量守恒，碰后總體質量2m，速度u，選取需要為正方向，則：
mv₀=2mu，
得u=$\frac{1}{2}$v₀，
C滑到最高點的過程中，由動量守恒定律：mv₀+2m u=（m+2m）u′
由機械能守恒：$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{1}{2}$2mu²-$\frac{1}{2}$（m+2m）u^/2=mgh
解得：${v}_{0}=2\sqrt{3gR}$ 
（2）C從底端滑到頂端再從頂端滑到底部的過程中，滿足水平方向動量守恒、機械能守恒，有：
mv₀+2mu=mv₁+2mv₂  
$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{1}{2}$2mu²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$2mv₂²
解得：${v}_{1}=\frac{2}{3}\sqrt{3gR}$，${v}_{2}=\frac{5\sqrt{3gR}}{3}$
（3）滑塊C在A的底端時相對A向左運動（對地速度向右），其相對A滑動的速度為：
V_x=v₁-v₂
由圓周運動規(guī)律：F-mg=$\frac{m{V}_{x}^{2}}{R}$
解得：F=4mg
答：（1）B、C一起勻速運動的速度為$2\sqrt{3gR}$；
（2）滑塊C返回到A的底端時AB整體為$\frac{2}{3}\sqrt{3gR}$，C的速度為$\frac{5\sqrt{3gR}}{3}$；
（3）滑塊C返回到A的底端時C對A的壓力為4mg．

點評 解決本題的關鍵是抓住系統(tǒng)水平方向動量守恒，再根據無摩擦運動系統(tǒng)機械能守恒，掌握解決問題的思路是正確解題的關鍵．