Question

9．如圖所示，質量為m的小球P自4R高度下落后沿豎直平而內的光滑軌道ABC  運動．AB是半徑為R的$\frac{1}{4}$圓弧軌道，BC是直徑為R的半圓弧軌道，B是軌道最低點，在圓弧AB和BC的銜接處另有一個質量也為m的靜止小球Q．小球P運動到B點和小球Q碰撞后粘在一起變成一個整體，整體沿軌道向上運動到C點后水平拋出．求：
（1）小球P和小球Q碰撞前后小球P的速度；
（2）小球P、Q整體在C點時對軌道的壓力
（3）小球P、Q整體離開c點后至撞上圓弧軌道的過程中豎直下落的高度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機械能守恒求得小球P碰撞前的速度，再根據(jù)動量守恒求得碰撞后的共同速度；
（2）根據(jù)機械能守恒求得整體到達C時的速度，再根據(jù)牛頓運動定律合力提供圓周運動向心力求得軌道對整體的作用力，從而求得對軌道的壓力；
（3）根據(jù)平拋方程和圓軌道方向求得整體豎直下落的高度．

解答 解：（1）小球P下落時根據(jù)機械能守恒定律  $mg（4R+R）=\frac{1}{2}mv_0^2$
解得小球P撞擊小球Q時的速度為：
$v_0^{\;}=\sqrt{10gR}$
與Q碰撞過程中由動量守恒定律可得：
mv₀=2mv
解得碰后兩球的共同速度$v=\frac{1}{2}\sqrt{10gR}$
（2）碰后兩球的復合體在由B到C的過程中，根據(jù)機械能守恒定律得
$\frac{1}{2}2m{v^2}=\frac{1}{2}2mv_c^2+2mgR$
解得小球在C點的速度：${v_C}=\sqrt{\frac{gR}{2}}$
設兩球的復合體在C時和軌道間的彈力大小為N，有牛頓第二定律及向心力公式得：
$N+2mg=2m\frac{v_C^2}{{\frac{R}{2}}}$，
解得：N=0
即小整體對軌道的壓力為零．
（3）兩球離開C點做平拋運動：
x=v_Ct，
$y=\frac{1}{2}g{t^2}$
AB軌道位于以C點為圓心的圓周上：
x²+y²=R²
解得：$y=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}R=0.618R$
答：（1）小球P和小球Q碰撞前后小球P的速度分別為$\sqrt{10gR}$和$\frac{1}{2}\sqrt{10gR}$；
（2）小球P、Q整體在C點時對軌道的壓力為0；
（3）小球P、Q整體離開c點后至撞上圓弧軌道的過程中豎直下落的高度為0.618R．

點評 解決本題的關鍵是能從機械能守恒或動能定理角度分析小球運動的速度關系，在碰撞過程中滿足動量守恒，結合圓周運動條件求對軌道的壓力，以及由圓周軌道的方程分析小球平拋的下落高度．本題綜全性較強，考查知識點較多，屬難題．