Question

17．如圖所示，桌面上有一輕質(zhì)彈簧，左端固定在A點(diǎn)，自然狀態(tài)時(shí)其右端B點(diǎn)位于桌面右側(cè)邊緣．水平桌面右側(cè)有一豎直放置、半徑R=0.3m的光滑半圓軌道MNP，桌面與軌道相切于M點(diǎn)．在以MP為直徑的右側(cè)和水平半徑ON的下方部分有水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)的大小E=$\frac{{m}_{2}g}{q}$．現(xiàn)用質(zhì)量m₁=0.4kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)，釋放后彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)物塊恰停止在B點(diǎn)．用同種材料、質(zhì)量為m₂=0.2kg、帶+q的絕緣物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)，釋放后物塊離開桌面由M點(diǎn)沿半圓軌道運(yùn)動(dòng)，恰好能通過軌道的最高點(diǎn)P．（取g=10m/s²）求：
（1）物塊m₂經(jīng)過桌面右側(cè)邊緣B點(diǎn)時(shí)的速度；
（2）物塊m₂在半圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)軌道的最大壓力；
（3）釋放后物塊m₂運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析 （1）由于物體恰好能通過軌道的最高點(diǎn)P，因此可以通過豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件先求出P點(diǎn)的速度，再使用動(dòng)能定律求出物體在B點(diǎn)的速度；
（2）物體對(duì)軌道的壓力最大時(shí)的位置，處于重力與電場(chǎng)的復(fù)合場(chǎng)的等效重力處，先用動(dòng)能定律求出物體得到該點(diǎn)的速度，然后代入向心力的公式，再應(yīng)用難度第三定律進(jìn)行說明即可．
（3）用質(zhì)量m₁=0.4kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)，釋放后彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)物塊恰停止在B點(diǎn)．則彈簧的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，即可求出摩擦因數(shù)；
同種材料、質(zhì)量為m₂=0.2kg的物塊從C到B的過程中，彈簧的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能和內(nèi)能，結(jié)合功能關(guān)系即可正確解答．

解答 解：（1）在最高點(diǎn)重力提供向心力，由牛頓第二定律得：${m}_{2}g=\frac{{m}_{2}{v}_{p}^{2}}{R}$  ①
B到P的過程中重力和電場(chǎng)力做功，由動(dòng)能定理得：$qER-{m}_{2}g•2R=\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{p}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{B}^{2}$  ②
聯(lián)立①②得：v_B=3m/s     ③
（2）依題意，物塊與圓心的連線與豎直方向之間的夾角是45°位置時(shí)（設(shè)為D點(diǎn)），對(duì)軌道的壓力最大，物塊對(duì)應(yīng)的速度為v_D，根據(jù)動(dòng)能定理得：
qERsin45°-m₂gR（1-cos45°）=$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{B}^{2}$   ④
$N-\frac{{m}_{2}g}{cos45°}=\frac{{m}_{2}{v}_{D}^{2}}{R}$   ⑤
聯(lián)立③④⑤得：$N=6\sqrt{2}+2$N⑥
由牛頓第三定律得，物體對(duì)軌道的最大壓力為$6\sqrt{2}+2$N
（3）由功能關(guān)系得：E_P=μm₁gs_CB    ⑦
${E}_{P}-μ{m}_{2}g{s}_{CB}=\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{B}^{2}$   ⑧
聯(lián)立⑥⑦⑧得克服摩擦力做功：W_f=μm₂gs_CB=0.9J
答：（1）物塊m₂經(jīng)過桌面右側(cè)邊緣B點(diǎn)時(shí)的速度是3m/s；
（2）物塊m₂在半圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)軌道的最大壓力是$6\sqrt{2}+2$N；
（3）釋放后物塊m₂運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力做的功是0.9J．

點(diǎn)評(píng) 該題通過動(dòng)能定律的方式考查物體在豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵在于豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件．屬于中檔題．